Otwarte5 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\). Zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x)>0\) jest przedział \((0,12)\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(9\). Oblicz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\) funkcji \(f\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie miejsc zerowych
Funkcja jest dodatnia dokładnie między 0 a 12, więc w tych punktach ma miejsca zerowe, a jej ramiona są skierowane w dół.
\[f(x)=a x(x-12),\quad a<0\]
2 Obliczenie współczynnika a
Wierzchołek leży w połowie między miejscami zerowymi, czyli dla x=6. Podstawiamy największą wartość funkcji.
\[f(6)=a\cdot6\cdot(6-12)=-36a=9,\quad a=-\frac14\]
3 Odczytanie współczynników
Rozwijamy wzór funkcji i porównujemy go z postacią ax²+bx+c.
\[f(x)=-\frac14x(x-12)=-\frac14x^2+3x\]
Odpowiedź
Współczynniki wynoszą a=−1/4, b=3, c=0.
\[a=-\frac14,\quad b=3,\quad c=0\]
Sprawdzenie
Parabola ma ramiona skierowane w dół i miejsca zerowe 0 oraz 12, więc jest dodatnia dokładnie w przedziale (0,12). W wierzchołku przy x=6 osiąga wartość 9.
\[f(x)=-\frac14x(x-12),\quad f(6)=9\]