Zadanie 33 — matura 2015, sierpień | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku \(3:4\), a pole jest równe \(192\) (zobacz rysunek). Punkt \(E\) jest wyznaczzony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek \(SE\) jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\). Oblicz objętość ostrosłupa.

Ostrosłup ABCDS o prostokątnej podstawie ABCD. Przekątne podstawy przecinają się w punkcie E, a odcinek SE jest wysokością ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boków podstawy

Boki prostokąta mają stosunek 3:4, więc oznaczamy je przez 3x i 4x. Z pola wyznaczamy dodatnie x.

\[3x\cdot4x=192\;\Rightarrow\;12x^2=192\;\Rightarrow\;x=4,\quad a=12,\quad b=16\]

2 Obliczenie odległości wierzchołka od środka podstawy

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przekątną prostokąta. Przekątne prostokąta dzielą się na połowy, więc AE jest połową przekątnej.

\[AC=\sqrt{12^2+16^2}=20,\qquad AE=\frac{AC}{2}=10\]

3 Obliczenie wysokości

Rzutem krawędzi SA na podstawę jest AE. W trójkącie prostokątnym SAE kąt między SA a AE ma 30°, dlatego stosujemy tangens.

\[\tan30^\circ=\frac{SE}{AE}=\frac{SE}{10}\;\Rightarrow\;SE=\frac{10\sqrt3}{3}\]

4 Obliczenie objętości

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości.

\[V=\frac13\cdot192\cdot\frac{10\sqrt3}{3}=\frac{640\sqrt3}{3}\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi \(\frac{640\sqrt3}{3}\) jednostek sześciennych.

\[V=\frac{640\sqrt3}{3}\]

Sprawdzenie

Boki 12 i 16 dają pole 192 oraz stosunek 3:4. Ponadto \(SE/AE=\sqrt3/3=\tan30^\circ\), więc obliczona wysokość spełnia warunek kąta nachylenia.

\[12\cdot16=192,\qquad 12:16=3:4,\qquad \frac{SE}{AE}=\frac{10\sqrt3/3}{10}=\frac{\sqrt3}{3}=\tan30^\circ\]