Otwarte4 pkt
Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach \(A=(-2,2)\), \(B=(6,-2)\), \(C=(10,6)\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Ustalenie równych boków
Oś symetrii trójkąta równoramiennego przechodzi przez wierzchołek, przy którym spotykają się równe boki.
\[|AB|^2=(6+2)^2+(-2-2)^2=80,\quad |BC|^2=(10-6)^2+(6+2)^2=80\]
2 Środek podstawy
Ponieważ \(AB=BC\), podstawą jest \(AC\). Jej środek należy do osi symetrii.
\[M=\left(\frac{-2+10}{2},\frac{2+6}{2}\right)=(4,4)\]
3 Równanie osi
Prosta przechodzi przez \(B=(6,-2)\) i \(M=(4,4)\), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi \(-3\).
\[a=\frac{4-(-2)}{4-6}=-3,\qquad y+2=-3(x-6),\qquad y=-3x+16\]
Odpowiedź
Oś symetrii ma równanie \(y=-3x+16\).
\[y=-3x+16\]
Sprawdzenie
Punkty \(B\) i \(M\) spełniają otrzymane równanie. Prosta \(AC\) ma współczynnik kierunkowy \(\frac13\), więc jest prostopadła do osi o współczynniku \(-3\). Oś przechodzi zatem przez wierzchołek trójkąta i jest symetralną jego podstawy.
\[-2=-3\cdot6+16,\quad 4=-3\cdot4+16,\quad \frac{6-2}{10-(-2)}\cdot(-3)=\frac13\cdot(-3)=-1\]