Otwarte2 pkt
W prostokącie \(ABCD\) punkt \(P\) jest środkiem boku \(BC\), a punkt \(R\) jest środkiem boku \(CD\). Wykaż, że pole trójkąta \(APR\) jest równe sumie pól trójkątów \(ADR\) oraz \(PCR\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Oznaczenie boków
Oznaczamy długości boków prostokąta. Ponieważ P i R są środkami boków, znamy długości połówek tych boków.
\[AB=CD=a,\quad BC=AD=b,\quad BP=PC=\frac b2,\quad CR=RD=\frac a2\]
2 Pola trzech trójkątów
Trójkąty ABP, ADR i PCR są prostokątne, więc ich pola obliczamy jako połowę iloczynu przyprostokątnych.
\[P_{ABP}=\frac12\cdot a\cdot\frac b2=\frac{ab}{4},\quad P_{ADR}=\frac12\cdot b\cdot\frac a2=\frac{ab}{4},\quad P_{PCR}=\frac12\cdot\frac b2\cdot\frac a2=\frac{ab}{8}\]
3 Pole trójkąta APR
Te trzy trójkąty wraz z APR wypełniają prostokąt, więc odejmujemy ich pola od pola prostokąta.
\[P_{APR}=ab-\frac{ab}{4}-\frac{ab}{4}-\frac{ab}{8}=\frac{3ab}{8}\]
Odpowiedź
Pole trójkąta APR jest równe sumie pól trójkątów ADR i PCR.
\[P_{APR}=\frac{3ab}{8}=\frac{ab}{4}+\frac{ab}{8}=P_{ADR}+P_{PCR}\]
Sprawdzenie
Suma pól czterech trójkątów wynosi ab, czyli pole całego prostokąta; rachunek uwzględnia więc cały podział figury.
\[\frac{3ab}{8}+\frac{ab}{4}+\frac{ab}{4}+\frac{ab}{8}=ab\]