Otwarte2 pkt
Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^3+y^3\geq x^2y+xy^2\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przenieś wyrazy na jedną stronę
Aby wykazać nierówność, wystarczy sprawdzić, czy różnica jej stron jest nieujemna.
\[x^3+y^3-x^2y-xy^2\geq 0\]
2 Wyłącz wspólny czynnik
Grupujemy wyrazy, aby otrzymać kwadrat różnicy.
\[x^3+y^3-x^2y-xy^2=(x+y)(x^2-2xy+y^2)=(x+y)(x-y)^2\]
3 Ustal znak iloczynu
Ponieważ \(x,y\geq 0\), mamy \(x+y\geq 0\). Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc cały iloczyn jest nieujemny.
\[(x+y)(x-y)^2\geq 0\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich nieujemnych \(x\) i \(y\). Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(x=y\).
\[x^3+y^3\geq x^2y+xy^2\]
Sprawdzenie
Po podstawieniu \(x=y=t\geq 0\) obie strony wynoszą \(2t^3\). Gdy \(x\ne y\), kwadrat \((x-y)^2\) i suma \(x+y\) są dodatnie, więc nierówność jest ostra.
\[t^3+t^3=t^2t+tt^2=2t^3\]