Otwarte2 pkt
Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia równość \(\operatorname{tg}\alpha+\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}=\frac{7}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisanie równania przez sinus i cosinus
Ponieważ kąt jest ostry, sinus i cosinus są dodatnie. Korzystamy z definicji tangensa oraz z jedynki trygonometrycznej.
\[\operatorname{tg}\alpha+\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}\]
2 Obliczenie iloczynu
Przyrównujemy otrzymany ułamek do wartości podanej w zadaniu i odwracamy obie dodatnie strony równania.
\[\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{7}{2}\quad\Longrightarrow\quad\sin\alpha\cos\alpha=\frac{2}{7}\]
Odpowiedź
Wartość wyrażenia wynosi \(\frac{2}{7}\).
\[\sin\alpha\cos\alpha=\frac{2}{7}\]
Sprawdzenie
Po podstawieniu otrzymanego iloczynu lewa strona równania z zadania wynosi \(\frac{1}{2/7}=\frac{7}{2}\). Ponadto \(0<\frac{2}{7}<\frac{1}{2}\), co jest zgodne z tym, że kąt jest ostry.
\[\operatorname{tg}\alpha+\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{1}{2/7}=\frac{7}{2}\]