Otwarte2 pkt
Rozwiąż nierówność \(20x \geq 4x^2 + 24\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przenieś wyrazy na jedną stronę
Dzięki temu nierówność można sprowadzić do iloczynu. Dzielimy przez dodatnią liczbę 4, więc znak nierówności się nie zmienia.
\[20x\geq 4x^2+24\iff 4x^2-20x+24\leq 0\iff x^2-5x+6\leq 0\]
2 Rozłóż trójmian na czynniki
Liczby 2 i 3 mają sumę 5 i iloczyn 6, więc są miejscami zerowymi trójmianu.
\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\]
3 Wyznacz przedział
Iloczyn jest niedodatni między miejscami zerowymi, wraz z końcami przedziału.
\[(x-2)(x-3)\leq 0\iff x\in[2,3]\]
Odpowiedź
Rozwiązaniem jest przedział od 2 do 3, wraz z końcami.
\[x\in[2,3]\]
Sprawdzenie
Dla x = 2 i x = 3 zachodzi równość. Między nimi czynniki mają przeciwne znaki, a poza tym przedziałem ten sam znak, więc iloczyn jest niedodatni dokładnie dla x od 2 do 3.
\[(2-2)(2-3)=0,\quad(3-2)(3-3)=0\]