Otwarte2 pkt
Rozwiąż równanie \(\frac{2x-4}{x}=\frac{x}{2x-4}\), gdzie \(x\neq 0\) i \(x\neq 2\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Warunki
Mianowniki muszą być różne od zera, więc korzystamy z podanych warunków.
\[x\neq 0,\qquad 2x-4\neq 0\iff x\neq 2\]
2 Mnożenie na krzyż
Ponieważ oba mianowniki są niezerowe, mnożymy równanie przez \(x(2x-4)\).
\[\frac{2x-4}{x}=\frac{x}{2x-4}\iff (2x-4)^2=x^2\]
3 Rozwiązanie
Różnica kwadratów jest zerem, gdy co najmniej jeden z jej czynników jest zerem.
\[(2x-4)^2-x^2=0\iff (x-4)(3x-4)=0\iff x=4\ \text{lub}\ x=\frac{4}{3}\]
Odpowiedź
Rozwiązaniami są \(x=4\) i \(x=\frac{4}{3}\).
\[x\in\left\{\frac{4}{3},4\right\}\]
Sprawdzenie
Obie liczby spełniają warunki. Dla \(x=4\) obie strony równania są równe \(1\), a dla \(x=\frac{4}{3}\) obie są równe \(-1\).
\[x=4:\ \frac{2x-4}{x}=\frac{x}{2x-4}=1;\qquad x=\frac{4}{3}:\ \frac{2x-4}{x}=\frac{x}{2x-4}=-1\]