Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 11 z 70

Sortuj:

Zadanie 10.2

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}-x-2 & \text{dla } x\in(-5,-2],\\0 & \text{dla } x\in(-2,1],\\x & \text{dla } x\in(1,3].\end{cases}\]

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

2. Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział ……………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z osiami, grotami, oznaczeniami i etykietą.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wartości części funkcji

Sprawdzamy wartości na każdym przedziale dziedziny, uwzględniając, czy końce przedziałów należą do dziedziny.

\[x\in(-5,-2]\Rightarrow -x-2\in[0,3),\qquad x\in(-2,1]\Rightarrow f(x)=0,\qquad x\in(1,3]\Rightarrow f(x)\in(1,3].\]

2 Połączenie zbiorów wartości

Bierzemy sumę wartości uzyskanych we wszystkich trzech częściach funkcji.

\[[0,3)\cup\{0\}\cup(1,3]=[0,3].\]

Odpowiedź

Zbiorem wartości funkcji jest przedział od 0 do 3, wraz z końcami.

\[[0,3]\]

Sprawdzenie

Wartość 0 jest osiągana dla x = −2, a wartość 3 dla x = 3. Pierwsza część daje wszystkie wartości od 0 do 3 bez 3, więc w zbiorze wartości nie ma luk.

\[f(-2)=0,\qquad f(3)=3.\]

Zadanie 10.3

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}-x-2 & \text{dla } x\in(-5,-2] \\ 0 & \text{dla } x\in(-2,1] \\ x & \text{dla } x\in(1,3]\end{cases}\]

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji \(f\) jest przedział ……………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Miejsca zerowe to argumenty, dla których wartość funkcji wynosi 0. W pierwszej części wzoru otrzymujemy x=-2, który należy do jej przedziału. W drugiej części funkcja ma wartość 0 dla każdego argumentu z podanego przedziału.

\[-x-2=0\iff x=-2,\qquad \{-2\}\cup(-2,1]=[-2,1]\]

2 Sprawdzenie ostatniej części

Dla x z przedziału (1,3] mamy f(x)=x>0, więc nie ma tam miejsc zerowych.

\[x\in(1,3]\implies f(x)=x>0\]

Odpowiedź

Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji jest przedział [-2,1].

\[[-2,1]\]

Sprawdzenie

Na końcach otrzymanego przedziału funkcja ma wartość 0: f(-2)=0 z pierwszej części wzoru, a f(1)=0 z drugiej. Wszystkie argumenty pomiędzy nimi należą do części, w której f(x)=0.

\[f(-2)=-(-2)-2=0,\qquad f(1)=0\]

Zadanie 10.4

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}-x-2 & \text{dla } x\in(-5,-2]\\0 & \text{dla } x\in(-2,1]\\x & \text{dla } x\in(1,3]\end{cases}\]

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)<f(-3)\) jest przedział ……………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z oznaczeniami osi i końców przedziałów.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wartości odniesienia

Ponieważ \(-3\in(-5,-2]\), korzystamy z pierwszego wzoru funkcji.

\[f(-3)=-(-3)-2=1\]

2 Rozwiązanie nierówności

W pierwszym przedziale rozwiązujemy nierówność \(-x-2<1\). W drugim funkcja ma wartość \(0<1\), a w trzecim \(f(x)=x>1\).

\[-x-2<1\iff x>-3;\qquad (-3,-2]\cup(-2,1]=(-3,1]\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział \((-3,1]\).

\[(-3,1]\]

Sprawdzenie

Punkt \(x=-3\) jest wykluczony, bo \(f(-3)=1\), natomiast \(x=1\) należy do zbioru, bo \(f(1)=0<1\). Dla \(x>1\) mamy \(f(x)=x>1\).

\[f(-3)=1,\qquad f(1)=0<1\]

Zadanie 11

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{1}{2}x-k\), gdzie \(k\) jest liczbą rzeczywistą. Miejsce zerowe funkcji \(f\) jest liczbą większą od \(2\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(k\) należy do przedziału

\((\! -\infty,-1)\)

\((-1,0)\)

\((0,1)\)

\((1,+\infty)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsca zerowego

Przyrównujemy wartość funkcji do zera i rozwiązujemy równanie względem x.

\[\frac{1}{2}x-k=0\quad\Longrightarrow\quad x=2k\]

2 Zastosowanie warunku

Miejsce zerowe jest większe od 2, więc rozwiązujemy odpowiednią nierówność.

\[2k>2\quad\Longrightarrow\quad k>1\]

Odpowiedź

Odpowiedź D. Liczba k należy do przedziału (1,+∞).

\[k\in(1,+\infty)\]

Sprawdzenie

Dla każdego k>1 miejsce zerowe wynosi 2k>2, więc otrzymany przedział spełnia warunek zadania.

\[k>1\quad\Longrightarrow\quad x_0=2k>2\]

Zadanie 12

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=5x\). W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji \(f\) przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi \(Ox\) i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej \(g\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja \(g\) jest określona wzorem

\(g(x)=5x-5\)

\(g(x)=5x-1\)

\(g(x)=5x+1\)

\(g(x)=5x+5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie przesunięcia

Przesunięcie wykresu o jedną jednostkę w prawo oznacza zastąpienie argumentu x przez x−1.

\[g(x)=f(x-1)\]

2 Obliczenie wzoru

Podstawiamy x−1 do wzoru funkcji f i upraszczamy.

\[g(x)=5(x-1)=5x-5\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: g(x)=5x−5.

\[g(x)=5x-5\]

Sprawdzenie

Punkt (0,0) z wykresu f po przesunięciu powinien być punktem (1,0) wykresu g. Otrzymany wzór spełnia ten warunek.

\[g(1)=5\cdot 1-5=0\]

Zadanie 13

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji kwadratowej \(f\) przechodzi przez punkt \((2,15)\). Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu \(x=-1\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(1\).

Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego

Oś symetrii leży w połowie odległości między miejscami zerowymi. Skoro jednym z nich jest 1, drugim jest −3.

\[\frac{1+x_2}{2}=-1\quad\Rightarrow\quad x_2=-3\]

2 Wyznaczenie współczynnika

Zapisujemy funkcję za pomocą miejsc zerowych i podstawiamy współrzędne punktu (2,15).

\[f(x)=a(x-1)(x+3),\qquad 15=a(2-1)(2+3)=5a,\qquad a=3\]

3 Zapisanie postaci kanonicznej

Przekształcamy iloczyn przez dopełnienie kwadratu, aby otrzymać postać kanoniczną.

\[f(x)=3(x-1)(x+3)=3(x^2+2x-3)=3\bigl((x+1)^2-4\bigr)=3(x+1)^2-12\]

Odpowiedź

Wzór funkcji w postaci kanonicznej to \(f(x)=3(x+1)^2-12\).

\[f(x)=3(x+1)^2-12\]

Sprawdzenie

Dla x=2 wartość funkcji wynosi 15, dla x=1 wynosi 0, a z postaci kanonicznej wynika, że osią symetrii jest x=−1.

\[f(2)=3\cdot 3^2-12=15,\qquad f(1)=3\cdot 2^2-12=0,\qquad x_{\mathrm{oś}}=-1\]

Zadanie 14.1

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=3n^2-3n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma \(S_3\) trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa

\(18\)

\(24\)

\(60\)

\(90\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie trzech wyrazów

Podstawiamy kolejno \(n=1,2,3\) do wzoru ciągu.

\[a_1=3\cdot1^2-3\cdot1=0,\quad a_2=3\cdot2^2-3\cdot2=6,\quad a_3=3\cdot3^2-3\cdot3=18\]

2 Obliczenie sumy

Dodajemy trzy początkowe wyrazy zgodnie z definicją \(S_3\).

\[S_3=a_1+a_2+a_3=0+6+18=24\]

Odpowiedź

Suma wynosi 24. Poprawna odpowiedź: B.

\[S_3=24\]

Sprawdzenie

Bezpośrednie zsumowanie składników wzoru daje ten sam wynik.

\[S_3=3(1^2+2^2+3^2)-3(1+2+3)=3\cdot14-3\cdot6=24\]

Zadanie 14.2

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=3n^2-3n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.	P	F
Wszystkie wyrazy ciągu \((a_n)\) są liczbami parzystymi.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie arytmetyczności

W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała. Tutaj zależy od n, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.

\[a_{n+1}-a_n=3(n+1)^2-3(n+1)-(3n^2-3n)=6n\]

2 Sprawdzenie parzystości

Liczby n i n−1 są kolejne, więc jedna z nich jest parzysta. Ich iloczyn pomnożony przez 3 również jest parzysty dla każdego n≥1.

\[a_n=3n(n-1)\]

Odpowiedź

Ciąg jest arytmetyczny: F. Wszystkie jego wyrazy są parzyste: P.

\[\boxed{\mathrm{F},\ \mathrm{P}}\]

Sprawdzenie

Dla n=1 i n=2 różnice kolejnych wyrazów wynoszą odpowiednio 6 i 12, więc nie są stałe. Parzystość każdego wyrazu wynika z iloczynu dwóch kolejnych liczb całkowitych.

\[a_2-a_1=6,\qquad a_3-a_2=12,\qquad 2\mid n(n-1)\Rightarrow 2\mid a_n\]

Zadanie 15.1

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), dane są wyrazy: \(a_1=52\) oraz \(a_{25}=2\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Różnica ciągu \((a_n)\) jest równa

\(\left(-\frac{25}{12}\right)\)

\((-2)\)

\(2\)

\(\frac{25}{12}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wzoru na wyraz ciągu

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o stałą wartość r, więc od pierwszego do dwudziestego piątego wyrazu dodajemy ją 24 razy.

\[a_{25}=a_1+24r\]

2 Obliczenie różnicy

Podstawiamy dane wyrazy i rozwiązujemy równanie względem r.

\[2=52+24r\quad\Rightarrow\quad 24r=-50\quad\Rightarrow\quad r=-\frac{25}{12}\]

Odpowiedź

Różnica ciągu wynosi \(-\frac{25}{12}\). Poprawna odpowiedź: A.

\[r=-\frac{25}{12}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu obliczonej różnicy otrzymujemy podany wyraz dwudziesty piąty.

\[a_{25}=52+24\left(-\frac{25}{12}\right)=52-50=2\]

Zadanie 15.2

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), dane są wyrazy: \(a_1=52\) oraz \(a_{25}=2\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma \(S_{25}\) dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa

\(675\)

\(700\)

\(1300\)

\(1325\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na sumę

Suma kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa liczbie wyrazów pomnożonej przez średnią pierwszego i ostatniego wyrazu.

\[S_{25}=\frac{25(a_1+a_{25})}{2}\]

2 Obliczenie sumy

Podstawiamy dane wyrazy i wykonujemy działania.

\[S_{25}=\frac{25(52+2)}{2}=25\cdot27=675\]

Odpowiedź

Suma wynosi 675. Odpowiedź A.

\[S_{25}=675\]

Sprawdzenie

Różnica ciągu wynosi −25/12. Obliczenie sumy z pierwszego wyrazu i różnicy daje ponownie 675.

\[r=\frac{2-52}{24}=-\frac{25}{12},\qquad S_{25}=25\cdot52+\frac{25\cdot24}{2}\left(-\frac{25}{12}\right)=1300-625=675\]

Zadanie 16

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzywyrazowy ciąg \((4,\ m,\ m-1)\) jest geometryczny, gdy liczba \(m\) jest równa

\((-3)\)

\((-2)\)

\(2\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu geometrycznego

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów sąsiednich.

\[m^2=4(m-1)\]

2 Obliczenie wartości m

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i zapisujemy trójmian jako kwadrat.

\[m^2-4m+4=0\quad\Longleftrightarrow\quad(m-2)^2=0\quad\Longleftrightarrow\quad m=2\]

Odpowiedź

m = 2, odpowiedź C.

\[m=2\]

Sprawdzenie

Dla m = 2 ciąg ma postać (4, 2, 1). Oba ilorazy kolejnych wyrazów wynoszą 1/2, więc ciąg jest geometryczny.

\[\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\]

Zadanie 17

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\frac{\sin^{3}25^{\circ}+\sin25^{\circ}\cdot\cos^{2}25^{\circ}}{\cos25^{\circ}}\) jest równa

\(\sin25^{\circ}\)

\(\cos25^{\circ}\)

\(\operatorname{tg}25^{\circ}\)

\(1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

W liczniku obu składników występuje sinus tego samego kąta, więc wyłączamy go przed nawias.

\[\frac{\sin^{3}25^{\circ}+\sin25^{\circ}\cos^{2}25^{\circ}}{\cos25^{\circ}}=\frac{\sin25^{\circ}(\sin^{2}25^{\circ}+\cos^{2}25^{\circ})}{\cos25^{\circ}}\]

2 Zastosuj jedynkę trygonometryczną

Suma kwadratów sinusa i cosinusa wynosi 1, a iloraz sinusa przez cosinus jest tangensem.

\[\frac{\sin25^{\circ}(\sin^{2}25^{\circ}+\cos^{2}25^{\circ})}{\cos25^{\circ}}=\frac{\sin25^{\circ}}{\cos25^{\circ}}=\operatorname{tg}25^{\circ}\]

Odpowiedź

C. Tangens 25°.

\[\operatorname{tg}25^{\circ}\]

Sprawdzenie

Mianownik jest różny od zera, ponieważ kąt 25° jest ostry. Po wstawieniu jedynki trygonometrycznej do licznika otrzymujemy iloraz definiujący tangens, więc wynik jest określony i odpowiada opcji C.

\[\cos25^{\circ}>0,\qquad \sin^{2}25^{\circ}+\cos^{2}25^{\circ}=1\]

Zadanie 18

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha\) oraz \(\beta\) (zobacz rysunek). Sinus kąta \(\alpha\) jest równy \(\frac{4}{7}\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Cosinus kąta \(\alpha\) jest równy \(\frac{3}{7}\).	P	F
Cosinus kąta \(\beta\) jest równy \(\frac{4}{7}\).	P	F

Trójkąt prostokątny z kątem prostym przy lewym dolnym wierzchołku, kątem β przy lewym górnym wierzchołku i kątem α przy prawym dolnym wierzchołku.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie cosinusa kąta α

Kąt α jest ostry, więc jego cosinus jest dodatni. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej.

\[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac{4}{7}\right)^2=\frac{33}{49},\qquad \cos\alpha=\frac{\sqrt{33}}{7}\]

2 Obliczenie cosinusa kąta β

Kąty ostre w trójkącie prostokątnym sumują się do 90°, dlatego cosinus kąta β jest równy sinusowi kąta α.

\[\alpha+\beta=90^\circ,\qquad \cos\beta=\sin\alpha=\frac{4}{7}\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: F. Drugie stwierdzenie: P.

\[\cos\alpha=\frac{\sqrt{33}}{7}\ne\frac{3}{7},\qquad \cos\beta=\frac{4}{7}\]

Sprawdzenie

Obliczony cosinus kąta α jest dodatni, a kwadraty sinusa i cosinusa sumują się do 1.

\[\left(\frac{4}{7}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{33}}{7}\right)^2=\frac{16}{49}+\frac{33}{49}=1\]

Zadanie 19.1

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości \(10\), \(24\), \(26\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa

Trójkąt prostokątny z bokami oznaczonymi 10, 24 i 26; kąt prosty przy lewym dolnym wierzchołku.

\(\frac{10}{3}\)

\(4\)

\(5\)

\(\frac{80}{13}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola

Boki 10 i 24 są przyprostokątnymi, więc pole jest połową iloczynu ich długości.

\[P=\frac{10\cdot24}{2}=120\]

2 Obliczenie promienia

Pole trójkąta jest równe iloczynowi promienia okręgu wpisanego i połowy obwodu.

\[s=\frac{10+24+26}{2}=30,\qquad P=rs,\qquad r=\frac{120}{30}=4\]

Odpowiedź

Promień ma długość 4 jednostek długości. Odpowiedź B.

\[r=4\]

Sprawdzenie

Dla promienia 4 iloczyn promienia i połowy obwodu wynosi 120, czyli tyle samo co obliczone pole trójkąta.

\[4\cdot30=120=\frac{10\cdot24}{2}\]

Zadanie 19.2

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości \(10,\ 24,\ 26\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych oznaczonych 10 i 24 oraz przeciwprostokątnej oznaczonej 26.

\(\frac{80}{13}\)

\(\frac{20}{3}\)

\(12\)

\(13\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór przeciwprostokątnej

W trójkącie prostokątnym najdłuższy bok jest przeciwprostokątną, więc ma długość 26.

\[c=26\]

2 Obliczenie promienia

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w połowie przeciwprostokątnej. Promień jest zatem połową jej długości.

\[R=\frac{c}{2}=\frac{26}{2}=13\]

Odpowiedź

Promień ma długość 13. Odpowiedź D.

\[R=13\]

Sprawdzenie

Boki spełniają twierdzenie Pitagorasa, a średnica okręgu o promieniu 13 ma długość równą przeciwprostokątnej.

\[10^2+24^2=676=26^2,\qquad 2R=2\cdot13=26\]