Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 32 z 70

Sortuj:

Zadanie 2

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba $3\sqrt{45}-\sqrt{20}$ jest równa

$(7\cdot5)^{\frac{1}{2}}$

$5^{\frac{1}{2}}$

$7$

$7\cdot5^{\frac{1}{2}}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie pierwiastków

Wyłączamy przed pierwiastek czynniki będące kwadratami liczb całkowitych.

\[\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt5,\qquad \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt5\]

2 Redukcja wyrazów podobnych

Oba wyrazy zawierają $\sqrt5$, więc odejmujemy ich współczynniki.

\[3\sqrt{45}-\sqrt{20}=3\cdot3\sqrt5-2\sqrt5=7\sqrt5\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[7\sqrt5=7\cdot5^{\frac12}\]

Sprawdzenie

W odpowiedzi D wykładnik $\frac12$ oznacza pierwiastek kwadratowy, więc podany tam zapis jest równy otrzymanemu wynikowi.

\[7\cdot5^{\frac12}=7\sqrt5\]

Zadanie 3

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

W ramach wyprzedaży sezonowej płaszcz o początkowej wartości $240$ zł przeceniono na $200$ zł. Zatem cenę tego płaszcza obniżono o

$16\frac{2}{3}\%$ jego początkowej wartości.

$20\%$ jego początkowej wartości.

$40\%$ jego początkowej wartości.

$83\frac{1}{3}\%$ jego początkowej wartości.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kwoty obniżki

Odejmujemy cenę po przecenie od ceny początkowej.

\[240\text{ zł}-200\text{ zł}=40\text{ zł}\]

2 Obliczenie procentu

Dzielimy kwotę obniżki przez cenę początkową, ponieważ pytanie dotyczy procentu początkowej wartości.

\[\frac{40}{240}\cdot100\%=\frac{1}{6}\cdot100\%=16\frac{2}{3}\%\]

Odpowiedź

Cenę obniżono o 16⅔% jej początkowej wartości. Odpowiedź A.

\[16\frac{2}{3}\%\quad\text{A}\]

Sprawdzenie

Jedna szósta z 240 zł to 40 zł, więc po obniżce cena wynosi 200 zł.

\[240\text{ zł}-\frac{1}{6}\cdot240\text{ zł}=200\text{ zł}\]

Zadanie 4

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Wartość wyrażenia $\frac{3^{-1}}{\left(-\frac{1}{9}\right)^{-2}}\cdot 81$ jest równa

$\frac{1}{3}$

$\left(-\frac{1}{3}\right)$

$3$

$(-3)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie potęg

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność liczby, a parzysty wykładnik usuwa znak minus.

\[3^{-1}=\frac{1}{3},\qquad \left(-\frac{1}{9}\right)^{-2}=(-9)^2=81\]

2 Obliczenie wartości wyrażenia

Podstawiamy obliczone potęgi i skracamy przez 81.

\[\frac{3^{-1}}{\left(-\frac{1}{9}\right)^{-2}}\cdot81=\frac{\frac{1}{3}}{81}\cdot81=\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Mianownik jest równy 81, więc jest różny od zera. Skrócenie przez 81 jest poprawne i daje jedną trzecią.

\[\frac{\frac{1}{3}}{81}\cdot81=\frac{1}{3}\]

Zadanie 5

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Wartość wyrażenia $(2-\sqrt{3})^2-(\sqrt{3}-2)^2$ jest równa

$(-2\sqrt{3})$

$0$

$6$

$8\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie składników

Liczby w nawiasach są przeciwne, więc ich kwadraty są równe.

\[\sqrt{3}-2=-(2-\sqrt{3}),\qquad (\sqrt{3}-2)^2=(2-\sqrt{3})^2\]

2 Obliczenie różnicy

Odejmujemy od siebie dwa równe kwadraty.

\[(2-\sqrt{3})^2-(\sqrt{3}-2)^2=0\]

Odpowiedź

Wynik to 0, odpowiedź B.

\[0\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu oba kwadraty wynoszą 7−4√3, więc ich różnica rzeczywiście jest równa 0.

\[(2-\sqrt{3})^2=7-4\sqrt{3},\qquad (\sqrt{3}-2)^2=7-4\sqrt{3}\]

Zadanie 6

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych $(x,y)$, punkt $(-8,6)$ jest punktem przecięcia prostych o równaniach

$2x+3y=2$ i $-x+y=-14$.

$3x+2y=-12$ i $2x+y=10$.

$x+y=-2$ i $x-2y=4$.

$x-y=-14$ i $-2x+y=22$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek przecięcia

Punkt należy do obu prostych tylko wtedy, gdy jego współrzędne spełniają oba równania. Podstawiamy $x=-8$ i $y=6$.

\[x=-8,\qquad y=6\]

2 Sprawdzenie odpowiedzi

Pierwsze równanie jest spełnione w każdej odpowiedzi. W drugim równaniu poprawną równość otrzymujemy tylko w D.

\[\begin{aligned}A:&\quad -(-8)+6=14\ne-14,\\B:&\quad 2(-8)+6=-10\ne10,\\C:&\quad -8-2\cdot6=-20\ne4,\\D:&\quad -2(-8)+6=22.\end{aligned}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[x-y=-14\quad\text{i}\quad -2x+y=22\]

Sprawdzenie

Punkt spełnia także pierwsze równanie z D. Proste mają jeden punkt przecięcia, ponieważ wyznacznik ich współczynników jest różny od zera.

\[-8-6=-14,\qquad -2(-8)+6=22,\qquad \begin{vmatrix}1&-1\\-2&1\end{vmatrix}=-1\ne0\]

Zadanie 7

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\[-3(x-1)\leq\frac{5-3x}{3}\]

jest przedział

$\left(-\infty,\frac{2}{3}\right\rangle$

$\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right\rangle$

$\left\langle\frac{2}{3},\infty\right)$

$\left\langle-\frac{2}{3},\infty\right)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usunięcie mianownika

Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę 3, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[-3(x-1)\leq\frac{5-3x}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad-9(x-1)\leq 5-3x\]

2 Wyznaczenie rozwiązania

Rozwijamy nawias i porządkujemy wyrazy. Dzieląc przez −6, odwracamy znak nierówności.

\[-9x+9\leq 5-3x\quad\Longleftrightarrow\quad-6x\leq-4\quad\Longleftrightarrow\quad x\geq\frac{2}{3}\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział od 2/3 włącznie do nieskończoności. Odpowiedź C.

\[x\in\left\langle\frac{2}{3},\infty\right)\]

Sprawdzenie

Dla x = 2/3 obie strony nierówności są równe 1, więc koniec przedziału należy do rozwiązania. Dla x = 0 otrzymujemy fałszywą nierówność 3 ≤ 5/3, zgodnie z wyznaczonym przedziałem.

\[x=\frac{2}{3}:\quad -3\left(\frac{2}{3}-1\right)=1=\frac{5-3\cdot\frac{2}{3}}{3};\qquad x=0:\quad 3>\frac{5}{3}\]

Zadanie 8

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Równanie $(x^2-3x)(x^2+1)=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

jedno rozwiązanie.

dwa rozwiązania.

trzy rozwiązania.

cztery rozwiązania.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x^2-3x=0\quad\text{lub}\quad x^2+1=0\]

2 Wyznaczenie rozwiązań rzeczywistych

Pierwsze równanie rozkładamy na czynniki. Drugie nie ma rozwiązań rzeczywistych, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny.

\[x(x-3)=0\Rightarrow x=0\ \text{lub}\ x=3,\qquad x^2+1\ge 1>0\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: 0 i 3. Odpowiedź B.

\[\{0,3\}\quad\text{— B}\]

Sprawdzenie

Dla 0 i 3 pierwszy czynnik jest równy zeru, więc obie liczby spełniają równanie. Drugi czynnik jest dodatni dla każdej liczby rzeczywistej, zatem innych rozwiązań nie ma.

\[(0^2-3\cdot0)(0^2+1)=0,\qquad(3^2-3\cdot3)(3^2+1)=0\]

Zadanie 9

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja $f$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $f(x)=\frac{x-k}{x^2+1}$, gdzie $k$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek $f(1)=2$. Wartość współczynnika $k$ we wzorze tej funkcji jest równa

$(-3)$

$3$

$(-4)$

$4$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie warunku

Ponieważ znamy wartość funkcji dla argumentu 1, podstawiamy $x=1$ i $f(1)=2$ do wzoru.

\[\frac{1-k}{1^2+1}=2\quad\Longrightarrow\quad\frac{1-k}{2}=2\]

2 Obliczenie współczynnika

Mnożymy obie strony przez 2, a następnie wyznaczamy $k$.

\[1-k=4\quad\Longrightarrow\quad k=-3\]

Odpowiedź

Współczynnik k jest równy −3. Odpowiedź A.

\[k=-3\]

Sprawdzenie

Dla k = −3 mianownik przy x = 1 wynosi 2, a wartość funkcji jest zgodna z warunkiem.

\[f(1)=\frac{1-(-3)}{1^2+1}=\frac{4}{2}=2\]

Zadanie 10

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Miejscem zerowym funkcji liniowej $f$ jest liczba $1$. Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt $(-1,4)$. Wzór funkcji $f$ ma postać

$f(x)=-\frac{1}{2}x+1$

$f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$

$f(x)=-2x+2$

$f(x)=-3x+1$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie funkcji

Skoro miejscem zerowym jest 1, funkcję liniową można zapisać w postaci z czynnikiem $x-1$.

\[f(x)=a(x-1)\]

2 Wyznaczenie współczynnika

Wykres przechodzi przez punkt $(-1,4)$, więc $f(-1)=4$. Podstawiamy te wartości, aby obliczyć $a$.

\[4=a(-1-1)=-2a\quad\Rightarrow\quad a=-2\]

3 Otrzymanie wzoru

Podstawiamy obliczony współczynnik i wymnażamy nawias.

\[f(x)=-2(x-1)=-2x+2\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[f(x)=-2x+2\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej funkcji 1 jest miejscem zerowym, a punkt $(-1,4)$ należy do jej wykresu.

\[f(1)=-2+2=0,\qquad f(-1)=2+2=4\]

Zadanie 11

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=(x-13)^2-256$. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba $(-3)$. Drugim miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba

$(-29)$

$(-23)$

$23$

$29$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Przyrównujemy wzór funkcji do zera. Po przeniesieniu 256 na prawą stronę pierwiastkujemy obie strony, uwzględniając oba znaki.

\[(x-13)^2-256=0\iff(x-13)^2=256\iff x-13=\pm16\]

2 Obliczenie drugiego miejsca zerowego

Dane miejsce zerowe to −3, więc drugim jest wynik otrzymany ze znaku plus.

\[x=13-16=-3\quad\text{lub}\quad x=13+16=29\]

Odpowiedź

Drugim miejscem zerowym jest 29. Odpowiedź D.

\[x=29\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu 29 wartość funkcji wynosi zero; otrzymane dwa miejsca zerowe są różne.

\[f(29)=(29-13)^2-256=16^2-256=0\]

Zadanie 12

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

W układzie współrzędnych $(x,y)$ narysowano wykres funkcji $y=f(x)$ (zobacz rysunek).

Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale

$Wykres funkcji $y=f(x)$ w układzie współrzędnych$

$\langle -5,4\rangle$

$\langle 5,7\rangle$

$\langle 1,5\rangle$

$\langle -1,5\rangle$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie odcinka rosnącego

Na wykresie od punktu (5,1) do punktu (7,6) wartości funkcji rosną wraz ze wzrostem x. Dodatnie nachylenie tego odcinka potwierdza, że funkcja jest na nim rosnąca.

\[\frac{6-1}{7-5}=\frac{5}{2}>0\]

Odpowiedź

Funkcja jest rosnąca w przedziale ⟨5,7⟩. Odpowiedź B.

\[\langle 5,7\rangle\]

Sprawdzenie

Na całym wskazanym odcinku wykres wznosi się od wartości 1 do 6, więc dla większego x wartość f(x) jest większa.

\[5<7\quad\text{oraz}\quad f(5)=1<6=f(7)\]

Zadanie 13

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

W układzie współrzędnych $(x,y)$ narysowano wykres funkcji $y=f(x)$ (zobacz rysunek).

Funkcja $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ następująco: $g(x)=f(-x)$ dla każdego $x\in\langle -7,-5\rangle\cup\langle -4,4\rangle\cup\langle 5,7\rangle$. Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w układzie współrzędnych $(x,y)$, wykres funkcji $y=g(x)$. Wykres funkcji $y=g(x)$ przedstawiono na rysunku

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych

Wariant A: wykres w układzie współrzędnych

Wariant B: wykres w układzie współrzędnych

Wariant C: wykres w układzie współrzędnych

Wariant D: wykres w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odbicie wykresu

W równości $g(x)=f(-x)$ każdemu punktowi $(x,y)$ wykresu funkcji $f$ odpowiada punkt $(-x,y)$ wykresu funkcji $g$. Odbijamy więc wykres względem osi $Oy$.

\[(x,f(x))\longmapsto(-x,f(x))\]

2 Porównanie charakterystycznych fragmentów

Rosnący odcinek po prawej stronie wykresu $f$ staje się malejącym odcinkiem po lewej stronie. Po odbiciu punktów środkowej części otrzymujemy odcinek od $(-4,-1)$ do $(1,4)$, a następnie poziomy odcinek do $(4,4)$. Prawy skrajny fragment jest poziomy na wysokości $4$. Taki wykres jest na rysunku B.

\[(5,1)\mapsto(-5,1),\quad(7,6)\mapsto(-7,6),\quad(4,-1)\mapsto(-4,-1),\quad(-1,4)\mapsto(1,4)\]

Odpowiedź

Rysunek B.

\[\boxed{B}\]

Sprawdzenie

Na rysunku B odcinek od $(-7,6)$ do $(-5,1)$ jest odbiciem odcinka od $(5,1)$ do $(7,6)$, a poziomy fragment od $(5,4)$ do $(7,4)$ odpowiada fragmentowi od $(-7,4)$ do $(-5,4)$. Zgadza się też dziedzina podana w zadaniu.

\[[-7,-5]\cup[-4,4]\cup[5,7]\]

Zadanie 14

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa $f$, określona wzorem $f(x)=-(x-1)(x-5)$, przyjmuje wartość

najmniejszą równą $3$.

najmniejszą równą $4$.

największą równą $3$.

największą równą $4$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Postać kanoniczna

Przekształcamy wzór, aby odczytać największą wartość funkcji.

\[f(x)=-(x-1)(x-5)=-x^2+6x-5=4-(x-3)^2\]

2 Największa wartość

Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc funkcja osiąga wartość 4, gdy x=3.

\[(x-3)^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad f(x)=4-(x-3)^2\leq 4\]

Odpowiedź

D — funkcja przyjmuje wartość największą równą 4.

\[\max_{x\in\mathbb{R}}f(x)=4\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu x=3 do wzoru z treści otrzymujemy 4, więc wskazana wartość jest osiągana.

\[f(3)=-(3-1)(3-5)=-(2)(-2)=4\]

Zadanie 15

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=(-1)^n\cdot\frac{n+1}{2}$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy

$2$

$(-2)$

$3$

$(-1)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie numeru wyrazu

Trzeci wyraz otrzymujemy, podstawiając $n=3$ do wzoru ciągu.

\[a_3=(-1)^3\cdot\frac{3+1}{2}\]

2 Obliczenie wartości

Ponieważ wykładnik jest nieparzysty, $(-1)^3=-1$.

\[a_3=-1\cdot\frac{4}{2}=-2\]

Odpowiedź

Trzeci wyraz wynosi $-2$. Odpowiedź B.

\[a_3=-2\]

Sprawdzenie

W odpowiedzi B podano $-2$, czyli obliczoną wartość trzeciego wyrazu.

\[(-1)^3\cdot\frac{3+1}{2}=-2\]

Zadanie 16

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Czterowyrazowy ciąg $(-2,\ 1,\ x,\ y)$ jest geometryczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

$\left(-\frac{5}{4}\right)$

$(-4)$

$\left(-\frac{1}{4}\right)$

$\left(-\frac{15}{4}\right)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz.

\[q=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}\]

2 Obliczenie pozostałych wyrazów

Mnożymy kolejne wyrazy przez wyznaczony iloraz.

\[x=1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2},\qquad y=\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}\]

3 Obliczenie sumy

Dodajemy wszystkie cztery wyrazy ciągu.

\[S=-2+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}\]

Odpowiedź

Suma wynosi −5/4. Odpowiedź A.

\[S=-\frac{5}{4}\]

Sprawdzenie

Ilorazy kolejnych wyrazów są równe −1/2, więc wyznaczone wyrazy tworzą ciąg geometryczny. Suma −5/4 odpowiada odpowiedzi A.

\[\frac{1}{-2}=\frac{-\frac{1}{2}}{1}=\frac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}\]