Zbiór zadań maturalnych

Równania i nierówności — zadania maturalne

Równania i nierówności: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

58 zadańStrona 4 z 4

Sortuj:

Zadanie 27

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x>3x^2-6x\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Dzięki temu porównujemy iloczyn z zerem.

\[2x^2-4x>3x^2-6x\iff -x^2+2x>0\iff x(x-2)<0\]

2 Wyznacz przedział

Iloczyn jest ujemny, gdy jego czynniki mają przeciwne znaki. Zachodzi to między miejscami zerowymi 0 i 2.

\[x(x-2)<0\iff 0<x<2\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest przedział \((0,2)\).

\[x\in(0,2)\]

Sprawdzenie

Dla liczby 1 z otrzymanego przedziału iloczyn jest ujemny. Poza przedziałem oba czynniki mają ten sam znak, a na jego końcach iloczyn wynosi zero, więc końce nie należą do rozwiązania.

\[1(1-2)=-1<0;\quad x\leqslant 0\ \text{lub}\ x\geqslant 2\implies x(x-2)\geqslant 0\]

Zadanie 32

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

58%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż równanie:

\(\frac{3x+2}{3x-2}=4-x\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik musi być różny od zera.

\[3x-2\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne\frac{2}{3}\]

2 Usunięcie mianownika

Dla dopuszczalnych wartości x mnożymy obie strony przez 3x−2 i porządkujemy równanie.

\[3x+2=(4-x)(3x-2)=-3x^2+14x-8\quad\Longrightarrow\quad 3x^2-11x+10=0\]

3 Rozwiązanie równania kwadratowego

Rozkładamy trójmian na czynniki i przyrównujemy każdy czynnik do zera.

\[(3x-5)(x-2)=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{5}{3}\ \text{lub}\ x=2\]

Odpowiedź

Rozwiązania: x = 5/3 lub x = 2.

\[x\in\left\{\frac{5}{3},2\right\}\]

Sprawdzenie

Obie wartości spełniają warunek dziedziny. Po podstawieniu do równania pierwotnego dla x = 5/3 obie strony są równe 7/3, a dla x = 2 obie są równe 2.

\[x=\frac{5}{3}:\ \frac{3\cdot\frac{5}{3}+2}{3\cdot\frac{5}{3}-2}=\frac{7}{3}=4-\frac{5}{3};\qquad x=2:\ \frac{3\cdot2+2}{3\cdot2-2}=2=4-2\]

Zadanie 4

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

58%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Równość \(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{a}=1\) jest prawdziwa dla

\(a=\frac{11}{20}\)

\(a=\frac{8}{9}\)

\(a=\frac{9}{8}\)

\(a=\frac{20}{11}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie ułamka

Odejmujemy znane składniki od obu stron równości i sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.

\[\frac{1}{a}=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{20-5-4}{20}=\frac{11}{20}\]

2 Obliczenie a

Ponieważ \(a\neq 0\), odwracamy obie strony równości.

\[a=\frac{20}{11}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[a=\frac{20}{11}\]

Sprawdzenie

Otrzymana wartość jest niezerowa, a po podstawieniu suma wynosi 1.

\[\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{20/11}=\frac{5+4+11}{20}=1\]

Zadanie 26

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

57%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż nierówność \(2(x-1)(x+3)>x-1\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Sprowadzamy nierówność do postaci, w której można zbadać znak iloczynu.

\[2(x-1)(x+3)-(x-1)>0\iff(x-1)(2x+5)>0\]

2 Wyznacz miejsca zerowe

Czynniki zmieniają znak w swoich miejscach zerowych.

\[x-1=0\iff x=1,\qquad 2x+5=0\iff x=-\frac52\]

3 Zbadaj znak iloczynu

Iloczyn dwóch czynników jest dodatni, gdy oba mają ten sam znak. Nierówność jest ostra, więc miejsc zerowych nie włączamy.

\[(x-1)(2x+5)>0\iff x<-\frac52\ \text{lub}\ x>1\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest suma dwóch przedziałów otwartych.

\[x\in\left(-\infty,-\frac52\right)\cup(1,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla x=0, leżącego między miejscami zerowymi, otrzymujemy −5<0, więc ten przedział odpada. W obu miejscach zerowych iloczyn wynosi 0, dlatego końce nie należą do rozwiązania.

\[(0-1)(2\cdot0+5)=-5<0,\qquad \left(-\frac52-1\right)\left(2\cdot\left(-\frac52\right)+5\right)=0,\qquad (1-1)(2\cdot1+5)=0\]

Zadanie 32

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Planimetria

56%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o \(50^\circ\). Oblicz kąty tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie kątów

Oznaczmy mniejszy z dwóch kątów różniących się o 50° przez x. Drugi ma wtedy x+50°, a trzeci 3x.

\[x,\quad x+50^\circ,\quad 3x\]

2 Suma kątów

Suma kątów w trójkącie wynosi 180°, więc układamy i rozwiązujemy równanie.

\[x+(x+50^\circ)+3x=180^\circ\quad\Rightarrow\quad 5x=130^\circ\quad\Rightarrow\quad x=26^\circ\]

3 Obliczenie pozostałych kątów

Podstawiamy otrzymaną wartość do oznaczeń.

\[x+50^\circ=76^\circ,\qquad 3x=78^\circ\]

Odpowiedź

Kąty trójkąta mają miary 26°, 76° i 78°.

\[26^\circ,\ 76^\circ,\ 78^\circ\]

Sprawdzenie

Kąty są dodatnie i sumują się do 180°. Dwa wskazane kąty różnią się o 50°, a trzeci jest trzy razy większy od mniejszego z nich.

\[26^\circ+76^\circ+78^\circ=180^\circ,\quad 76^\circ-26^\circ=50^\circ,\quad 78^\circ=3\cdot26^\circ\]

Zadanie 5

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

54%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Układ równań \(\begin{cases}x-y=3\\2x+0{,}5y=4\end{cases}\) opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie

zbiór pusty.

dokładnie jeden punkt.

dokładnie dwa różne punkty.

zbiór nieskończony.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie x

Z pierwszego równania wyrażamy x przez y, aby podstawić je do drugiego równania.

\[x-y=3\quad\Rightarrow\quad x=y+3\]

2 Obliczenie y

Po podstawieniu otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą.

\[2(y+3)+0{,}5y=4\quad\Rightarrow\quad 2{,}5y=-2\quad\Rightarrow\quad y=-\frac45\]

3 Obliczenie x

Podstawiamy obliczone y do pierwszego przekształcenia.

\[x=-\frac45+3=\frac{11}{5}\]

Odpowiedź

Układ opisuje dokładnie jeden punkt — odpowiedź B.

\[\left(\frac{11}{5},-\frac45\right)\]

Sprawdzenie

Otrzymana para spełnia oba równania. Ponieważ podstawienie dało jednoznaczne wartości y i x, jest to jedyne rozwiązanie.

\[\frac{11}{5}-\left(-\frac45\right)=3,\qquad 2\cdot\frac{11}{5}+0{,}5\cdot\left(-\frac45\right)=4\]

Zadanie 30

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż nierówność

\(x(x-2)>2x^2-3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Rozwijamy nawias i odejmujemy prawą stronę nierówności od obu stron.

\[x^2-2x>2x^2-3\iff x^2+2x-3<0\]

2 Rozłóż trójmian na czynniki

Postać iloczynowa pozwala wyznaczyć miejsca zerowe i znak wyrażenia.

\[x^2+2x-3=(x+3)(x-1),\quad x=-3\ \text{lub}\ x=1\]

3 Wyznacz przedział rozwiązań

Iloczyn dwóch czynników liniowych jest ujemny między miejscami zerowymi. Końce przedziału nie należą do rozwiązania, bo nierówność jest ostra.

\[(x+3)(x-1)<0\iff -3<x<1\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział \((-3,1)\).

\[x\in(-3,1)\]

Sprawdzenie

Dla liczby 0 z otrzymanego przedziału zachodzi \(0>-3\). Dla liczb spoza przedziału, na przykład −4 i 2, nierówność nie zachodzi; na końcach −3 i 1 strony są równe.

\[x=0:\ 0>-3;\qquad x=-4:\ 24\not>29;\qquad x=2:\ 0\not>5\]

Zadanie 6

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

51%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(-2(x+3)\leq\frac{2-x}{3}\) jest przedział

\((-\infty,-4\rangle\)

\((-\infty,4\rangle\)

\(\langle-4,\infty)\)

\(\langle4,\infty)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usunięcie mianownika

Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę 3, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[-6(x+3)\leq 2-x\]

2 Wyznaczenie x

Rozwijamy nawias, przenosimy wyrazy i dzielimy przez liczbę ujemną, odwracając znak nierówności.

\[-6x-18\leq 2-x\;\Longleftrightarrow\;-5x\leq 20\;\Longleftrightarrow\;x\geq -4\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział od −4 włącznie do nieskończoności. Odpowiedź C.

\[x\in\langle-4,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla x = −4 obie strony nierówności są równe 2, więc koniec przedziału należy do zbioru rozwiązań. Dla x = −5 nierówność jest fałszywa: 4 ≤ 7/3 nie zachodzi.

\[x=-4:\quad -2(-4+3)=2=\frac{2-(-4)}{3};\qquad x=-5:\quad 4\nleq\frac{7}{3}\]

Zadanie 8

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

47%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Równanie \(\frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych

nie ma rozwiązania.

ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(-1\).

ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(1\).

ma dokładnie dwa rozwiązania: \(-1\) oraz \(1\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik nie może być równy zeru, więc wykluczamy obie wartości zerujące jego czynniki.

\[(x-1)(x+1)^2\neq 0\quad\Longrightarrow\quad x\neq 1\ \text{oraz}\ x\neq -1\]

2 Sprawdzenie warunku równości zero

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest zerem, a mianownik jest różny od zera.

\[(x+1)(x-1)^2=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1\ \text{lub}\ x=1\]

Odpowiedź

Równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Odpowiedź A.

\[\varnothing\]

Sprawdzenie

Obie wartości zerujące licznik są wykluczone z dziedziny, ponieważ zerują także mianownik. Zatem żadna liczba rzeczywista nie spełnia równania.

\[x=-1\ \text{lub}\ x=1\quad\Longrightarrow\quad (x-1)(x+1)^2=0\]

Zadanie 7

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

47%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Równanie \(\frac{x^2+2x}{x^2-4}=0\)

ma trzy rozwiązania: \(x=-2\), \(x=0\), \(x=2\)

ma dwa rozwiązania: \(x=0\), \(x=-2\)

ma dwa rozwiązania: \(x=-2\), \(x=2\)

ma jedno rozwiązanie: \(x=0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik nie może być równy zeru, więc wykluczamy jego miejsca zerowe.

\[x^2-4=(x-2)(x+2)\neq 0\quad\Longrightarrow\quad x\neq -2,\;x\neq 2\]

2 Wyzerowanie licznika

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest zerem, a mianownik jest różny od zera. Spośród dwóch kandydatów tylko \(x=0\) należy do dziedziny.

\[x^2+2x=x(x+2)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\;\text{lub}\;x=-2\]

Odpowiedź

Równanie ma jedno rozwiązanie: \(x=0\). Odpowiedź D.

\[x=0\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\) mianownik wynosi \(-4\), a wartość ułamka wynosi \(0\). Wartość \(x=-2\) jest wykluczona, bo zeruje mianownik.

\[\frac{0^2+2\cdot 0}{0^2-4}=\frac{0}{-4}=0\]

Zadanie 5

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

47%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Równość \(\left(x\sqrt{2}-2\right)^2=\left(2+\sqrt{2}\right)^2\) jest

prawdziwa dla \(x=-\sqrt{2}\).

prawdziwa dla \(x=\sqrt{2}\).

prawdziwa dla \(x=-1\).

fałszywa dla każdej liczby \(x\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usunięcie kwadratów

Kwadraty dwóch liczb są równe, gdy liczby te są równe lub przeciwne.

\[x\sqrt{2}-2=2+\sqrt{2}\quad\text{lub}\quad x\sqrt{2}-2=-(2+\sqrt{2})\]

2 Rozwiązanie obu równań

W każdym równaniu wyznaczamy x, dzieląc przez niezerową liczbę \(\sqrt{2}\).

\[x\sqrt{2}=4+\sqrt{2}\Rightarrow x=2\sqrt{2}+1;\qquad x\sqrt{2}=-\sqrt{2}\Rightarrow x=-1\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C. Równość jest prawdziwa dla \(x=-1\).

\[x=-1\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-1\) lewa strona jest kwadratem liczby przeciwnej do \(2+\sqrt{2}\), więc strony są równe. Drugi otrzymany wynik nie występuje w odpowiedziach.

\[(-\sqrt{2}-2)^2=(2+\sqrt{2})^2\]

Zadanie 31

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

37%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy \(\frac{4}{7}\), a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy \(\frac{1}{2}\). Wyznacz ten ułamek.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie ułamka

Niech licznik i mianownik będą dodatnimi liczbami całkowitymi względnie pierwszymi.

\[\frac{a}{b},\quad a,b\in\mathbb{N}_{+},\quad \gcd(a,b)=1\]

2 Wykorzystanie pierwszego warunku

Dodajemy połowę licznika do licznika i mianownika, a następnie mnożymy równanie na krzyż. Mianownik jest dodatni.

\[\frac{a+\frac{a}{2}}{b+\frac{a}{2}}=\frac{4}{7}\quad\Longrightarrow\quad 7\cdot\frac{3a}{2}=4\left(b+\frac{a}{2}\right)\quad\Longrightarrow\quad 17a=8b\quad\Longrightarrow\quad\frac{a}{b}=\frac{8}{17}\]

3 Wyznaczenie licznika i mianownika

Liczby 8 i 17 są względnie pierwsze, więc nieskracalny ułamek ma licznik 8 i mianownik 17.

\[a=8,\qquad b=17\]

Odpowiedź

Szukany ułamek to \(\frac{8}{17}\).

\[\frac{8}{17}\]

Sprawdzenie

Po dodaniu połowy licznika otrzymujemy \(\frac{4}{7}\), a po dodaniu 1 otrzymujemy \(\frac{1}{2}\). Licznik i mianownik są dodatnie oraz względnie pierwsze.

\[\frac{8+4}{17+4}=\frac{12}{21}=\frac{4}{7},\qquad\frac{8+1}{17+1}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2},\qquad\gcd(8,17)=1\]

Zadanie 34

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Stereometria

34%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe \(45\sqrt{3}\). Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Graniastosłup prawidłowy trójkątny z wierzchołkami oznaczonymi A, B, C, D, E, F.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie pola podstawy

Graniastosłup ma dwie jednakowe podstawy i trzy jednakowe ściany boczne. Każda ściana boczna ma pole równe polu podstawy, więc pole całkowite jest pięciokrotnością pola podstawy.

\[5P_p=45\sqrt{3},\qquad P_p=9\sqrt{3}\]

2 Obliczenie boku podstawy

Podstawa jest trójkątem równobocznym o boku \(a\), zatem korzystamy ze wzoru na jego pole.

\[\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\quad\Rightarrow\quad a^2=36\quad\Rightarrow\quad a=6\]

3 Obliczenie wysokości i objętości

Ściana boczna jest prostokątem o bokach \(a\) i \(h\). Z równości pól wyznaczamy wysokość, a następnie mnożymy pole podstawy przez wysokość.

\[ah=P_p\quad\Rightarrow\quad h=\frac{9\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2},\qquad V=P_ph=9\sqrt{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{81}{2}\]

Odpowiedź

Objętość graniastosłupa wynosi \(\frac{81}{2}\).

\[V=\frac{81}{2}\]

Sprawdzenie

Pole jednej ściany bocznej wynosi \(6\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\), tyle samo co pole podstawy. Pole całkowite wynosi więc \(2\cdot9\sqrt{3}+3\cdot9\sqrt{3}=45\sqrt{3}\), zgodnie z treścią.

\[P_b=9\sqrt{3}=P_p,\qquad P_c=5\cdot9\sqrt{3}=45\sqrt{3}\]