Zbiór zadań maturalnych

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka — zadania maturalne

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

79 zadańStrona 1 z 6

Sortuj:

Zadanie 29

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W pewnej miejscowości zlokalizowane są dwie szkoły. W pierwszej z nich jest trzy razy więcej uczniów niż w drugiej. Średni wiek uczniów w pierwszej szkole to \(9\) lat, a średni wiek uczniów w drugiej szkole to \(13\) lat.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średni wiek wszystkich uczniów obu szkół, wyrażony w latach, jest równy

\(10\)

\(10{,}5\)

\(11\)

\(11{,}5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie liczby uczniów

Przyjmujemy, że w drugiej szkole jest \(n\) uczniów, gdzie \(n>0\). W pierwszej jest ich trzy razy więcej.

\[N_2=n,\qquad N_1=3n\]

2 Obliczenie średniej ważonej

Sumę wieku uczniów każdej szkoły otrzymujemy, mnożąc średni wiek przez liczbę uczniów. Łączną sumę wieku dzielimy przez liczbę wszystkich uczniów.

\[\overline{x}=\frac{9\cdot 3n+13\cdot n}{3n+n}=\frac{40n}{4n}=10\ \text{lat}\]

Odpowiedź

Średni wiek wynosi 10 lat. Odpowiedź A.

\[\boxed{10\ \text{lat}\quad\text{A}}\]

Sprawdzenie

Średnia 10 lat jest poprawna: w pierwszej szkole średni wiek jest o 1 rok niższy, a w drugiej o 3 lata wyższy. Ponieważ pierwsza szkoła ma trzy razy więcej uczniów, te różnice się równoważą.

\[3n(9-10)+n(13-10)=-3n+3n=0\]

Zadanie 30

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Diagram słupkowy wyników sprawdzianu. Oś pozioma: ocena od 1 do 6. Oś pionowa: liczba uczniów od 0 do 8. Wysokości słupków dla ocen 1–6 wynoszą odpowiednio 2, 1, 6, 5, 7 i 5.

\(3\)

\(3{,}5\)

\(4\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba uczniów

Dodajemy liczby uczniów odczytane z kolejnych słupków, aby ustalić środkowe pozycje w uporządkowanym zbiorze ocen.

\[2+1+6+5+7+5=26\]

2 Środkowe oceny

Przy 26 wynikach mediana jest średnią 13. i 14. oceny. Do oceny 3 włącznie jest 9 wyników, a do oceny 4 włącznie — 14, więc obie środkowe oceny to 4.

\[2+1+6=9,\qquad 9+5=14,\qquad M=\frac{4+4}{2}=4\]

Odpowiedź

Mediana wynosi 4. Odpowiedź C.

\[M=4\]

Sprawdzenie

Ocena 4 zajmuje miejsca od 10. do 14. w uporządkowanym zbiorze, więc zarówno 13., jak i 14. wynik to 4.

\[10\leqslant 13<14\leqslant 14\]

Zadanie 31

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Dany jest sześcioelementowy zbiór \(K=\{2,3,4,5,6,7\}\). Ze zbioru \(K\) losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że liczba wylosowana za pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie większy od \(16\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policzenie wszystkich wyników

Kolejność losowania ma znaczenie, a drugiej liczby nie można wylosować ponownie.

\[|\Omega|=6\cdot5=30\]

2 Policzenie wyników sprzyjających

Pierwsza liczba musi być parzysta. Dla każdej z liczb 2, 4 i 6 wybieramy drugą liczbę tak, aby iloczyn był większy od 16.

\[2y>16:\ 0\text{ możliwości};\qquad 4y>16:\ y\in\{5,6,7\};\qquad 6y>16:\ y\in\{3,4,5,7\}.\quad |A|=0+3+4=7\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{7}{30}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 7/30.

\[P(A)=\frac{7}{30}\]

Sprawdzenie

Pary spełniające warunki to (4,5), (4,6), (4,7), (6,3), (6,4), (6,5) i (6,7). Jest ich 7; w każdej pierwsza liczba jest parzysta, liczby są różne, a iloczyn przekracza 16.

\[4\cdot5=20>16,\quad 6\cdot3=18>16,\quad 0<\frac{7}{30}<1\]

Zadanie 24

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średni wiek wszystkich uczniów obu szkół, wyrażony w latach, jest równy

\(10\)

\(10{,}5\)

\(11\)

\(11{,}5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal liczby uczniów

Przyjmijmy, że w drugiej szkole jest n uczniów. W pierwszej jest ich trzy razy więcej.

\[n_2=n,\quad n_1=3n,\quad n>0\]

2 Oblicz średnią ważoną

Sumę wieku uczniów obu szkół dzielimy przez łączną liczbę uczniów.

\[\frac{9\cdot 3n+13\cdot n}{3n+n}=\frac{40n}{4n}=10\]

Odpowiedź

Średni wiek wynosi 10 lat. Odpowiedź A.

\[10\ \text{lat}\]

Sprawdzenie

Dla przykładowych 3 uczniów w pierwszej szkole i 1 w drugiej suma ich wieku wynikająca ze średnich to 27+13=40 lat. Podzielenie przez 4 daje 10 lat; warunek liczby uczniów jest spełniony.

\[\frac{3\cdot 9+1\cdot 13}{4}=10\]

Zadanie 25

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Diagram słupkowy liczby uczniów dla ocen od 1 do 6: odpowiednio 2, 1, 6, 5, 7 i 5 uczniów.

\(3\)

\(3{,}5\)

\(4\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba uczniów

Dodajemy liczby uczniów odczytane z diagramu, aby ustalić pozycje środkowych ocen.

\[2+1+6+5+7+5=26\]

2 Wyznaczenie mediany

Przy 26 uczniach mediana jest średnią ocen na miejscach 13. i 14. Po uporządkowaniu wyników oceny od 1 do 3 zajmują łącznie 9 miejsc, a ocena 4 zajmuje miejsca od 10. do 14.

\[2+1+6=9,\qquad 9+5=14,\qquad \frac{4+4}{2}=4\]

Odpowiedź

Mediana wynosi 4. Odpowiedź C.

\[\operatorname{Me}=4\]

Sprawdzenie

Obie środkowe oceny, na miejscach 13. i 14., należą do pięciu ocen równych 4, więc ich średnia wynosi 4.

\[10\leqslant 13<14\leqslant 14\]

Zadanie 31

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Dany jest sześcioelementowy zbiór \(K=\{2,3,4,5,6,7\}\). Ze zbioru \(K\) losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że liczba wylosowana za pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie większy od \(16\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policzenie wszystkich wyników

Kolejność losowania ma znaczenie. Pierwszą liczbę wybieramy na 6 sposobów, a drugą, bez zwracania, na 5 sposobów.

\[|\Omega|=6\cdot5=30\]

2 Policzenie wyników sprzyjających

Pierwsza liczba musi być parzysta. Dla 2 nie ma odpowiedniej drugiej liczby; dla 4 pasują 5, 6 i 7; dla 6 pasują 3, 4, 5 i 7.

\[2y>16:\ 0\text{ możliwości};\quad 4y>16:\ 3\text{ możliwości};\quad 6y>16:\ 4\text{ możliwości};\qquad |A|=0+3+4=7\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Wszystkie uporządkowane wyniki są jednakowo prawdopodobne, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{7}{30}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 7/30.

\[P(A)=\frac{7}{30}\]

Sprawdzenie

Sprzyjające pary to (4,5), (4,6), (4,7), (6,3), (6,4), (6,5) i (6,7). Jest ich 7; w każdej liczby są różne, pierwsza jest parzysta, a iloczyn przekracza 16.

\[4\cdot5=20>16,\qquad 6\cdot3=18>16\]

Zadanie 30

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Dane są dwa zbiory cyfr: \(X=\{1,3,5,7,9\}\) oraz \(Y=\{0,2,4,6,8\}\). Losujemy jedną cyfrę ze zbioru \(X\), a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru \(Y\). Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru \(X\) jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru \(Y\) jest cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez \(6\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Każdą z 5 cyfr dziesiątek można połączyć z każdą z 5 cyfr jedności. Wszystkie pary są jednakowo prawdopodobne.

\[|\Omega|=5\cdot5=25\]

2 Warunek podzielności przez 6

Liczba jest podzielna przez 6, gdy jest podzielna przez 2 i przez 3. Cyfra jedności zawsze pochodzi ze zbioru cyfr parzystych, więc wystarczy sprawdzić sumę cyfr.

\[6\mid(10x+y)\iff 3\mid(x+y)\]

3 Policzenie wyników sprzyjających

Dobieramy cyfry tak, aby ich suma była podzielna przez 3. Dla cyfr dziesiątek 1 i 7 są po 2 możliwości, dla 3 i 9 po 2, a dla 5 jedna.

\[|A|=2\cdot2+2\cdot2+1\cdot1=9\]

4 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{9}{25}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 9/25.

\[P(A)=\frac{9}{25}\]

Sprawdzenie

Otrzymujemy dokładnie 9 liczb podzielnych przez 6: 12, 18, 30, 36, 54, 72, 78, 90 i 96. Każda ma dozwolone cyfry i jest wielokrotnością 6.

\[12,18,30,36,54,72,78,90,96\]

Zadanie 31

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Nauczyciel matematyki po każdym sprawdzianie porównuje wyniki uzyskane przez uczniów dwóch klas: klasy IV A oraz klasy IV B. Na dwóch poniższych diagramach przedstawiono wyniki sprawdzianu ze statystyki, jakie uzyskali uczniowie tych klas. Na osiach poziomych podano oceny, które uzyskali uczniowie tych klas, a na osiach pionowych podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa średniej arytmetycznej ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B.	P	F
Mediana ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa medianie ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B.	P	F

Diagram słupkowy wyników klasy IV A. Oś pozioma: ocena od 1 do 6. Oś pionowa: liczba uczniów od 0 do 7. Liczby uczniów dla ocen 1–6: 1, 6, 3, 3, 6, 1.

Diagram słupkowy wyników klasy IV B. Oś pozioma: ocena od 1 do 6. Oś pionowa: liczba uczniów od 0 do 7. Liczby uczniów dla ocen 1–6: 1, 3, 6, 6, 3, 1.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt liczby ocen

Z diagramów odczytujemy liczby uczniów dla kolejnych ocen od 1 do 6. W każdej klasie jest 20 uczniów.

\[A:(1,6,3,3,6,1),\quad B:(1,3,6,6,3,1),\quad n_A=n_B=20\]

2 Obliczenie średnich

Mnożymy każdą ocenę przez liczbę uczniów, którzy ją otrzymali, a sumę dzielimy przez 20. W obu klasach suma ocen wynosi 70.

\[\overline{x}_A=\frac{1+2\cdot6+3\cdot3+4\cdot3+5\cdot6+6}{20}=\frac{70}{20}=3{,}5,\quad \overline{x}_B=\frac{1+2\cdot3+3\cdot6+4\cdot6+5\cdot3+6}{20}=\frac{70}{20}=3{,}5\]

3 Wyznaczenie median

Przy 20 ocenach mediana jest średnią ocen na miejscach 10. i 11. W klasie IV A oceny 3 zajmują miejsca 8–10, a w IV B miejsca 5–10. W obu klasach na miejscu 11. jest ocena 4.

\[M_A=M_B=\frac{3+4}{2}=3{,}5\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: P.

\[\overline{x}_A=\overline{x}_B=3{,}5,\qquad M_A=M_B=3{,}5\]

Sprawdzenie

Liczebności obu klas wynoszą 20. W każdej klasie liczby ocen 1 i 6, 2 i 5 oraz 3 i 4 są równe, więc średnia każdej takiej pary wynosi 3,5. Po uporządkowaniu ocen środkowe miejsca zajmują 3 i 4, co potwierdza obie mediany.

\[\frac{1+6}{2}=\frac{2+5}{2}=\frac{3+4}{2}=3{,}5\]

Zadanie 32

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna trzech liczb: \(a,\ b,\ c\), jest równa \(2\). Średnia arytmetyczna czterech liczb: \(d,\ e,\ f,\ g\), jest równa \(5{,}5\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: \(a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f,\ g\), jest równa

\(3{,}5\)

\(3{,}75\)

\(4\)

\(4{,}25\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sum

Mnożymy każdą średnią przez liczbę składników, aby otrzymać sumę liczb w danej grupie.

\[a+b+c=3\cdot2=6,\qquad d+e+f+g=4\cdot5{,}5=22\]

2 Średnia siedmiu liczb

Dodajemy obie sumy i dzielimy wynik przez 7.

\[\frac{a+b+c+d+e+f+g}{7}=\frac{6+22}{7}=4\]

Odpowiedź

Średnia wynosi 4. Odpowiedź C.

\[4\]

Sprawdzenie

Siedem liczb o średniej 4 ma sumę 28; tyle samo wynosi suma obu danych grup: 6+22=28.

\[7\cdot4=28=6+22\]

Zadanie 25

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna trzech liczb: \(a,\ b,\ c\), jest równa \(2\).
Średnia arytmetyczna czterech liczb: \(d,\ e,\ f,\ g\), jest równa \(5{,}5\).

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: \(a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f,\ g\), jest równa

\(3{,}5\)

\(3{,}75\)

\(4\)

\(4{,}25\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sum

Sumę liczb otrzymujemy, mnożąc ich średnią przez liczbę składników.

\[a+b+c=3\cdot2=6,\qquad d+e+f+g=4\cdot5{,}5=22\]

2 Średnia siedmiu liczb

Dodajemy obie sumy i dzielimy przez 7.

\[\frac{a+b+c+d+e+f+g}{7}=\frac{6+22}{7}=4\]

Odpowiedź

C. Średnia wynosi 4.

\[4\]

Sprawdzenie

Średnia 4 oznacza sumę 28; obliczone sumy grup dają 6 + 22 = 28.

\[7\cdot4=28=6+22\]

Zadanie 27

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Dane są dwa zbiory: \(X=\{-3,-2,-1,0,1,2\}\) oraz \(Y=\{-2,-1,0,1\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(X\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \(Y\) i tworzymy uporządkowaną parę liczb \((x,y)\), gdzie \(x\) jest liczbą wylosowaną ze zbioru \(X\) oraz \(y\) jest liczbą wylosowaną ze zbioru \(Y\).

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb \((x,y)\), która będzie spełniać warunek \(x\cdot y\geq 0\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba wszystkich par

Każda z 6 liczb ze zbioru X może być połączona z każdą z 4 liczb ze zbioru Y, więc jest 24 jednakowo prawdopodobnych par.

\[|\Omega|=6\cdot4=24\]

2 Liczba par sprzyjających

Iloczyn jest nieujemny, gdy obie liczby są ujemne, obie są dodatnie albo przynajmniej jedna jest zerem. Te przypadki się nie nakładają.

\[|A|=3\cdot2+2\cdot1+(1\cdot4+5\cdot1)=17\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę par sprzyjających przez liczbę wszystkich par.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{17}{24}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 17/24.

\[P(A)=\frac{17}{24}\]

Sprawdzenie

Iloczyn jest ujemny dla 3 par z ujemnym x i dodatnim y oraz 4 par z dodatnim x i ujemnym y. Pozostałych par jest 24−7=17, co potwierdza wynik.

\[24-(3\cdot1+2\cdot2)=17\]

Zadanie 29

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna trzech liczb: \(a\), \(b\), \(c\), jest równa \(12\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia arytmetyczna sześciu liczb: \(2a\), \(3a\), \(2b\), \(3b\), \(2c\), \(3c\), jest równa

\(10\)

\(12\)

\(30\)

\(60\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Suma trzech liczb

Średnia to suma liczb podzielona przez ich liczbę, więc z podanej średniej obliczamy sumę.

\[\frac{a+b+c}{3}=12\quad\Rightarrow\quad a+b+c=36\]

2 Średnia sześciu liczb

Grupujemy wyrazy z tymi samymi współczynnikami, a następnie dzielimy ich sumę przez 6.

\[\frac{2a+3a+2b+3b+2c+3c}{6}=\frac{5(a+b+c)}{6}=\frac{5\cdot36}{6}=30\]

Odpowiedź

C. Średnia wynosi 30.

\[30\]

Sprawdzenie

Sześć liczb o średniej 30 ma sumę 180. Tyle samo wynosi suma liczb z zadania: 5 · 36 = 180.

\[6\cdot30=180=5\cdot36\]

Zadanie 30.1

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 32 uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.

Liczba punktów	0	1	2	3	4	5
Liczba uczniów, którzy otrzymali daną liczbę punktów	4	2	5	5	11	5

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Wynik niższy od średniej arytmetycznej liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania uzyskało dokładnie …………… uczniów tej klasy.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie średniej

Mnożymy każdą liczbę punktów przez liczbę uczniów, którzy ją uzyskali, a sumę dzielimy przez 32.

\[\frac{0\cdot4+1\cdot2+2\cdot5+3\cdot5+4\cdot11+5\cdot5}{32}=\frac{96}{32}=3\]

2 Policzenie wyników niższych od średniej

Wynik niższy niż 3 punkty uzyskali uczniowie z 0, 1 lub 2 punktami.

\[4+2+5=11\]

Odpowiedź

W wykropkowanym miejscu należy wpisać 11.

\[11\]

Sprawdzenie

Liczebności sumują się do 32. Pozostałych 21 uczniów uzyskało co najmniej 3 punkty, więc 11 + 21 = 32.

\[4+2+5+5+11+5=32,\qquad 11+(5+11+5)=32\]

Zadanie 30.2

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 32 uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.

Liczba punktów	0	1	2	3	4	5
Liczba uczniów, którzy otrzymali daną liczbę punktów	4	2	5	5	11	5

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Mediana liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa …………… .

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie środkowych miejsc

Ponieważ uczniów jest 32, mediana jest średnią wyników na miejscach 16. i 17. po uporządkowaniu.

\[\frac{32}{2}=16,\qquad 16+1=17\]

2 Odczytanie wyników

Wynik 3 punkty zajmuje miejsca od 12. do 16., a wynik 4 punkty od 17. do 27. Obliczamy średnią dwóch środkowych wyników.

\[\operatorname{Me}=\frac{3+4}{2}=3{,}5\]

Odpowiedź

Mediana wynosi 3,5 punktu.

\[\operatorname{Me}=3{,}5\]

Sprawdzenie

Liczebności sumują się do 32. Przed wynikami równymi 3 są 4+2+5=11 wyników, więc 16. wynik to 3; kolejne 11 wyników równych 4 zaczyna się na miejscu 17.

\[4+2+5+5+11+5=32,\qquad 11+5=16\]

Zadanie 30.3

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 32 uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.

Liczba punktów	0	1	2	3	4	5
Liczba uczniów, którzy otrzymali daną liczbę punktów	4	2	5	5	11	5

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Dominanta liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa …………… .

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie dominanty

Dominanta to liczba punktów uzyskana przez największą liczbę uczniów. Największa liczebność w tabeli to 11 i odpowiada 4 punktom.

\[11>5,\quad 11>4,\quad 11>2\]

Odpowiedź

Dominanta jest równa 4.

\[D=4\]

Sprawdzenie

Liczebności sumują się do 32, a żadna inna liczba punktów nie została uzyskana przez 11 lub więcej uczniów.

\[4+2+5+5+11+5=32\]