Zbiór zadań maturalnych

Planimetria — zadania maturalne

Planimetria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

139 zadańStrona 1 z 10

Sortuj:

Zadanie 18

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) oraz \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\). Odcinek \(BD\) jest średnicą tego okręgu oraz \(|\angle ABD|=18^\circ\). Punkt \(D\) leży na krótszym łuku \(CA\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego \(BCA\) jest równa

Okrąg o środku S z punktami B, C, D i A na obwodzie. Odcinek BD jest średnicą; zaznaczono kąt ABD równy 18° oraz kąt BCA.

\(36^\circ\)

\(60^\circ\)

\(72^\circ\)

\(81^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt oparty na średnicy

Kąt wpisany BAD opiera się na średnicy BD, więc jest prosty.

\[|\angle BAD|=90^\circ\]

2 Kąt w trójkącie ABD

Suma kątów w trójkącie wynosi 180°, zatem obliczamy kąt BDA.

\[|\angle BDA|=180^\circ-90^\circ-18^\circ=72^\circ\]

3 Kąty oparte na tym samym łuku

Kąty BDA i BCA są oparte na tym samym łuku BA, więc mają równe miary.

\[|\angle BCA|=|\angle BDA|=72^\circ\]

Odpowiedź

Kąt BCA ma miarę 72°. Poprawna odpowiedź: C.

\[|\angle BCA|=72^\circ\]

Sprawdzenie

Obliczone kąty trójkąta ABD sumują się do 180°, a wynik 72° jest kątem ostrym.

\[90^\circ+18^\circ+72^\circ=180^\circ\]

Zadanie 19

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Ramiona kąta o wierzchołku w punkcie \(A\) przecięto dwiema prostymi równoległymi \(k\) oraz \(l\). Prosta \(k\) przecina ramiona tego kąta w punktach \(B\) oraz \(C\). Prosta \(l\) przecina ramiona tego kąta w punktach \(D\) oraz \(E\). Punkty \(B\) oraz \(D\) leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty \(C\) oraz \(E\) leżą na drugim ramieniu tego kąta. Ponadto \(|AB|=6\), \(|BC|=4\) oraz \(|BD|=2\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek \(DE\) ma długość

Rysunek kąta o wierzchołku A przeciętego równoległymi prostymi k i l. Na ramionach zaznaczono punkty B, C, D, E oraz długości AB = 6, BC = 4 i BD = 2.

\(\frac{8}{3}\)

\(\frac{16}{3}\)

\(6\)

\(8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości AD

Punkty A, B i D leżą kolejno na jednym ramieniu kąta, więc dodajemy długości odcinków AB i BD.

\[|AD|=|AB|+|BD|=6+2=8\]

2 Zastosowanie podobieństwa trójkątów

Ponieważ k i l są równoległe, trójkąty ABC i ADE są podobne. Odpowiadające sobie boki są proporcjonalne.

\[\frac{|DE|}{|BC|}=\frac{|AD|}{|AB|},\qquad |DE|=4\cdot\frac{8}{6}=\frac{16}{3}\]

Odpowiedź

Odcinek DE ma długość 16/3. Odpowiedź B.

\[|DE|=\frac{16}{3}\]

Sprawdzenie

Stosunek długości DE do BC wynosi 4/3, tyle samo co stosunek AD do AB.

\[\frac{\frac{16}{3}}{4}=\frac{4}{3}=\frac{8}{6}\]

Zadanie 20

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(AB\), a punkt \(E\) leży na boku \(AC\). Odcinek \(BE\) jest środkową trójkąta \(ABC\), a odcinek \(CD\) jest wysokością tego trójkąta. Ponadto odcinki \(DB\) oraz \(DE\) mają równe długości (zobacz rysunek).

Wykaż, że \(|\angle CAB|=2\cdot|\angle ABE|\).

Trójkąt ABC z punktami D na boku AB i E na boku AC; zaznaczono odcinki BE, CD, DE i DB oraz kąty przy A i B.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Równe odcinki w trójkącie ACD

Ponieważ CD jest wysokością, trójkąt ACD jest prostokątny. Punkt E jest środkiem przeciwprostokątnej AC, gdyż BE jest środkową. Zatem E jest jednakowo odległy od A, C i D.

\[AE=DE=CE\]

2 Kąt przy D

Z równości AE=DE wynika, że trójkąt ADE jest równoramienny. Jeśli oznaczymy kąt CAB przez \alpha, to kąt ADE również ma miarę \alpha.

\[|\angle ADE|=|\angle EAD|=|\angle CAB|=\alpha\]

3 Kąty w trójkącie BDE

Z założenia DB=DE, więc kąty przy podstawie BE są równe. Kąt EBD to kąt ABE; oznaczmy jego miarę przez \beta. Kąty ADE i BDE są przyległe.

4 Suma kątów

Dodajemy kąty trójkąta BDE i upraszczamy otrzymaną równość.

\[\beta+\beta+(180^\circ-\alpha)=180^\circ\quad\Longrightarrow\quad\alpha=2\beta\]

Odpowiedź

Wykazano, że miara kąta CAB jest dwukrotnością miary kąta ABE.

\[|\angle CAB|=2|\angle ABE|\]

Sprawdzenie

Ponieważ trójkąt ABC jest ostrokątny, α leży między 0° a 90°, więc β=α/2 leży między 0° a 45°. Wyznaczone kąty trójkąta BDE są dodatnie i ich suma wynosi 180°.

\[\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}+(180^\circ-\alpha)=180^\circ\]

Zadanie 32

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Dany jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości \(4\). Rozważamy wszystkie trójkąty \(DEF\) spełniające jednocześnie następujące warunki:

punkt \(E\) leży na boku \(AB\) kwadratu \(ABCD\)
punkt \(F\) leży na boku \(BC\) kwadratu \(ABCD\)
\(|CF|=\frac{1}{2}\cdot|EB|=x\), gdzie \(x\in(0,2)\) (zobacz rysunek).

Niech \(P(x)\) oznacza pole trójkąta \(DEF\) w zależności od długości \(x\) odcinka \(CF\).

Wyznacz wzór funkcji \(P\) zmiennej \(x\), gdzie \(x\in(0,2)\). Oblicz długość \(x\) odcinka \(CF\), dla której pole trójkąta \(DEF\) jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.

Kwadrat ABCD o boku 4. Punkt E leży na boku AB, punkt F na boku BC. Odcinek EB oznaczono jako 2x, a CF jako x. Wewnątrz kwadratu zaznaczono trójkąt DEF.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długości odcinków

Od boku kwadratu odejmujemy długości podanych odcinków.

\[|AE|=4-2x,\qquad |BF|=4-x\]

2 Pole trójkąta

Od pola kwadratu odejmujemy pola trzech trójkątów prostokątnych leżących poza trójkątem DEF.

\[\begin{aligned}P(x)&=16-\frac{4(4-2x)}{2}-\frac{4x}{2}-\frac{2x(4-x)}{2}\\&=x^2-2x+8,\qquad x\in(0,2).\end{aligned}\]

3 Najmniejsze pole

Po uzupełnieniu kwadratu wyrażenie jest najmniejsze, gdy jego nieujemny składnik jest równy zeru.

\[P(x)=(x-1)^2+7\geq 7;\qquad x=1\in(0,2).\]

Odpowiedź

Wzór funkcji to P(x)=x²−2x+8 dla x∈(0,2). Pole trójkąta DEF jest najmniejsze, gdy odcinek CF ma długość 1; wynosi wtedy 7.

\[P(x)=x^2-2x+8,\quad x\in(0,2);\qquad |CF|=1,\quad P_{\min}=7\]

Sprawdzenie

Dla x=1 odcinki EB i CF mają długości odpowiednio 2 i 1, zgodnie z warunkiem. Pola trzech odjętych trójkątów wynoszą 4, 2 i 3, więc pole DEF wynosi 16−4−2−3=7.

\[\frac{4\cdot2}{2}=4,\quad\frac{4\cdot1}{2}=2,\quad\frac{2\cdot3}{2}=3;\qquad 16-4-2-3=7\]

Zadanie 16

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Miara kąta ostrego \(BCA\) jest równa

Okrąg o środku S z punktami A, B, C i D na okręgu. BD jest średnicą; zaznaczono kąt ABD o mierze 18° oraz kąt BCA.

\(36^\circ\)

\(60^\circ\)

\(72^\circ\)

\(81^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt oparty na średnicy

Kąt wpisany oparty na średnicy \(BD\) jest prosty.

\[\angle BAD=90^\circ\]

2 Kąt w trójkącie ABD

Z sumy kątów trójkąta obliczamy kąt przy wierzchołku \(D\).

\[\angle BDA=180^\circ-90^\circ-18^\circ=72^\circ\]

3 Kąty oparte na tym samym łuku

Kąty \(BDA\) i \(BCA\) są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku \(BA\), więc mają równe miary.

\[\angle BCA=\angle BDA=72^\circ\]

Odpowiedź

Kąt BCA ma miarę 72°, zatem poprawna jest odpowiedź C.

\[\boxed{\angle BCA=72^\circ\quad\text{— odpowiedź C}}\]

Sprawdzenie

Obliczone kąty trójkąta ABD sumują się do 180°, a 72° jest kątem ostrym, zgodnie z treścią zadania.

\[90^\circ+18^\circ+72^\circ=180^\circ,\qquad 72^\circ<90^\circ\]

Zadanie 17

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Długość okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równa \(16\).

Wysokość tego trójkąta jest równa

\(6\)

\(\frac{6}{\sqrt{\pi}}\)

\(12\)

\(\frac{12}{\pi}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Promień okręgu

Z długości okręgu obliczamy promień okręgu opisanego.

\[2\pi R=16\quad\Rightarrow\quad R=\frac{8}{\pi}\]

2 Wysokość trójkąta

W trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego leży na wysokości i dzieli ją w stosunku \(2:1\), więc \(R=\frac{2}{3}h\).

\[h=\frac{3}{2}R=\frac{3}{2}\cdot\frac{8}{\pi}=\frac{12}{\pi}\]

Odpowiedź

Wysokość wynosi \(\frac{12}{\pi}\). Odpowiedź D.

\[h=\frac{12}{\pi}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wysokości promień wynosi \(\frac{2}{3}\cdot\frac{12}{\pi}=\frac{8}{\pi}\), a długość okręgu \(2\pi\cdot\frac{8}{\pi}=16\), zgodnie z treścią.

\[2\pi\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{12}{\pi}=16\]

Zadanie 18

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Odcinek \(DE\) ma długość

Kąt o wierzchołku A przecięty równoległymi prostymi k i l. Na dolnym ramieniu leżą kolejno B i D, na górnym C i E. Oznaczono długości AB = 6, BD = 2 i BC = 4.

\(\frac{8}{3}\)

\(\frac{16}{3}\)

\(6\)

\(8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości AD

Punkty A, B i D leżą kolejno na jednym ramieniu kąta, więc dodajemy długości odcinków AB i BD.

\[|AD|=|AB|+|BD|=6+2=8\]

2 Zastosowanie podobieństwa trójkątów

Ponieważ proste k i l są równoległe, trójkąty ABC i ADE są podobne. Odpowiadające sobie boki mają ten sam stosunek długości.

\[\frac{|DE|}{|BC|}=\frac{|AD|}{|AB|},\qquad |DE|=4\cdot\frac{8}{6}=\frac{16}{3}\]

Odpowiedź

Odcinek DE ma długość \(\frac{16}{3}\). Poprawna odpowiedź: B.

\[|DE|=\frac{16}{3}\]

Sprawdzenie

Stosunek długości DE do BC wynosi \(\frac{4}{3}\), tyle samo co stosunek AD do AB.

\[\frac{\frac{16}{3}}{4}=\frac{4}{3}=\frac{8}{6}\]

Zadanie 22

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Tworząca stożka o promieniu podstawy \(1\) ma długość \(3\).

Powierzchnia boczna tego stożka po rozłożeniu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o kącie środkowym o mierze

\(60^\circ\)

\(90^\circ\)

\(120^\circ\)

\(150^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość łuku wycinka

Łuk wycinka po rozłożeniu powierzchni bocznej ma długość równą obwodowi podstawy stożka.

\[s=2\pi r=2\pi\cdot1=2\pi\]

2 Kąt środkowy

Promień wycinka jest równy tworzącej stożka, czyli 3. Korzystamy ze wzoru na długość łuku wycinka.

\[\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot3=2\pi\quad\Rightarrow\quad\alpha=120^\circ\]

Odpowiedź

Kąt środkowy ma miarę 120°, więc poprawna jest odpowiedź C.

\[\alpha=120^\circ\]

Sprawdzenie

Dla kąta 120° łuk wycinka ma długość 2π, równą obwodowi podstawy stożka.

\[\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot3=2\pi\]

Zadanie 30

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(AB\) i odcinek \(CD\) jest wysokością tego trójkąta. Punkt \(E\) jest środkiem boku \(AC\).

Ponadto odcinki \(DB\) oraz \(DE\) mają równe długości (zobacz rysunek).

Wykaż, że \(|\angle CAB|=2\cdot|\angle ABE|\).

Trójkąt ABC z punktem D na boku AB i punktem E na boku AC. Odcinek CD jest przerywany, DE ciągły, a EB przerywany; zaznaczono kąty przy A i B.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Równe odcinki

W trójkącie prostokątnym \(ACD\) punkt \(E\) jest środkiem przeciwprostokątnej \(AC\), więc \(EA=ED\). Z danych mamy też \(ED=DB\).

\[EA=ED=DB\]

2 Kąty przy podstawach

Oznaczmy \(\alpha=|\angle CAB|\). Ponieważ \(A,D,B\) leżą na jednej prostej, w trójkącie równoramiennym \(AED\) kąty przy podstawie są równe \(\alpha\). Kąt \(EDB\) jest przyległy do \(EDA\). W trójkącie równoramiennym \(EDB\) oba pozostałe kąty są więc równe \(\alpha/2\).

\[|\angle EDA|=\alpha,\quad |\angle EDB|=180^\circ-\alpha,\quad |\angle ABE|=|\angle DBE|=\frac{180^\circ-(180^\circ-\alpha)}{2}=\frac{\alpha}{2}\]

Odpowiedź

Kąt CAB jest dwa razy większy od kąta ABE.

\[|\angle CAB|=2|\angle ABE|\]

Sprawdzenie

W trójkącie EDB suma kątów wynosi \(180^\circ\): kąt przy D ma \(180^\circ-\alpha\), a każdy z dwóch pozostałych ma \(\alpha/2\). Potwierdza to obliczony kąt przy B.

\[(180^\circ-\alpha)+\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}=180^\circ\]

Zadanie 19

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) oraz \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Punkt \(B\) leży na krótszym łuku \(AC\). Kąt \(CDA\) ma miarę \(50^\circ\), a kąt \(COB\) ma miarę \(30^\circ\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego \(BOA\) jest równa

Okrąg o środku O z punktami A, B, C i D. Zaznaczono kąt CDA równy 50°, kąt COB równy 30° oraz zacieniowano kąt BOA.

\(50^\circ\)

\(60^\circ\)

\(70^\circ\)

\(100^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta środkowego AOC

Kąt środkowy oparty na łuku AC jest dwa razy większy od kąta wpisanego CDA opartego na tym samym łuku.

\[\angle AOC=2\angle CDA=2\cdot50^\circ=100^\circ\]

2 Obliczenie kąta BOA

Punkt B leży na krótszym łuku AC, więc kąt AOC jest sumą kątów AOB i BOC.

\[\angle BOA=\angle AOC-\angle COB=100^\circ-30^\circ=70^\circ\]

Odpowiedź

Kąt BOA ma miarę 70°. Odpowiedź C.

\[\boxed{70^\circ\text{ — C}}\]

Sprawdzenie

Suma otrzymanego kąta BOA i danego kąta COB wynosi 100°, czyli tyle, ile kąt AOC. Kąt 70° jest ostry.

\[70^\circ+30^\circ=100^\circ\]

Zadanie 20

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Na płaszczyźnie dane są cztery proste: \(k\), \(l\), \(m\) oraz \(n\). Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe. Prosta \(m\) przecina proste \(k\) oraz \(l\) w punktach – odpowiednio – \(A\) oraz \(C\). Prosta \(n\) przecina proste \(k\) oraz \(l\) w punktach – odpowiednio – \(D\) oraz \(B\). Odcinki \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(O\). Ponadto \(|OA|=12\), \(|OB|=6\) oraz \(|OC|=8\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek \(OD\) ma długość

Dwie równoległe proste k i l przecięte prostymi m i n. Punkty A i D leżą na k, punkty C i B na l, a O jest punktem przecięcia odcinków AC i BD. Na rysunku oznaczono OA jako 12, OB jako 6 i OC jako 8.

\(4\)

\(9\)

\(10\)

\(16\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Ponieważ proste k i l są równoległe, a kąty przy O są wierzchołkowe, trójkąty AOD i COB są podobne. Odpowiadające sobie boki są proporcjonalne.

\[\frac{|OA|}{|OC|}=\frac{|OD|}{|OB|}\]

2 Obliczenie długości

Podstawiamy podane długości i mnożymy obie strony równania przez 6.

\[\frac{12}{8}=\frac{|OD|}{6}\quad\Rightarrow\quad |OD|=\frac{12\cdot6}{8}=9\]

Odpowiedź

Odcinek OD ma długość 9. Odpowiedź B.

\[|OD|=9\]

Sprawdzenie

Stosunki odpowiadających sobie boków są równe: 12 do 8 oraz 9 do 6 wynoszą 3 do 2.

\[\frac{12}{8}=\frac{9}{6}=\frac32\]

Zadanie 21

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt \(KLM\), w którym \(|KM|=a\) oraz \(|LM|=b\). Dwusieczna kąta \(LMK\) przecina bok \(KL\) w punkcie \(N\) (zobacz rysunek).

Wykaż, że stosunek pola trójkąta \(KNM\) do pola trójkąta \(NLM\) jest równy \(\frac{a}{b}\).

Trójkąt KLM z dwusieczną kąta LMK przecinającą bok KL w punkcie N. Bok KM oznaczono a, bok LM oznaczono b; przy wierzchołku M zaznaczono równe kąty.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie równych kątów

Odcinek MN jest dwusieczną kąta przy wierzchołku M, więc oba powstałe kąty mają tę samą miarę.

\[\angle KMN=\angle NML=\alpha\]

2 Obliczenie stosunku pól

Stosujemy wzór na pole z dwóch boków i kąta między nimi. W obu polach występują ten sam bok MN i ten sam sinus kąta, więc te czynniki się skracają.

\[\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{\frac12\,a\cdot |MN|\sin\alpha}{\frac12\,b\cdot |MN|\sin\alpha}=\frac{a}{b}\]

Odpowiedź

Stosunek pola trójkąta KNM do pola trójkąta NLM wynosi \(\frac{a}{b}\).

\[\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{a}{b}\]

Sprawdzenie

W trójkącie niedegenerowanym \(|MN|>0\) i \(\sin\alpha>0\), więc skrócenie wspólnych czynników jest poprawne.

\[\frac12|MN|\sin\alpha>0\]

Zadanie 22

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Planimetria

W okrąg \(O\) o promieniu \(9\sqrt{3}\) wpisano trójkąt równoboczny \(T\).

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Bok trójkąta \(T\) ma długość ……… .

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Związek promienia z bokiem

Środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym dzieli jego wysokość w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka. Wysokość trójkąta o boku a wynosi \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

\[R=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\]

2 Obliczenie boku

Podstawiamy podany promień i rozwiązujemy równanie względem a.

\[9\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\quad\Rightarrow\quad a=27\]

Odpowiedź

Bok trójkąta T ma długość 27.

\[a=27\]

Sprawdzenie

Dla boku 27 promień okręgu opisanego wynosi \(9\sqrt{3}\), zgodnie z treścią zadania.

\[R=\frac{27\sqrt{3}}{3}=9\sqrt{3}\]

Zadanie 24.1

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(0,-3)\), \(B=(2,1)\) oraz \(C=(0,2)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole trójkąta \(ABC\) jest równe

\(3\)

\(5\)

\(6\)

\(10\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość podstawy

Punkty A i C mają tę samą współrzędną x, więc odcinek AC jest pionowy. Jego długość to różnica współrzędnych y.

\[|AC|=|2-(-3)|=5\]

2 Wysokość i pole

Wysokością opuszczoną z B na prostą AC jest odległość pozioma od tej prostej, równa 2. Stosujemy wzór na pole trójkąta.

\[h=|2-0|=2,\qquad P=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 2=5\]

Odpowiedź

B. Pole trójkąta ABC wynosi 5 jednostek kwadratowych.

\[P=5\]

Sprawdzenie

Wyznacznik wektorów AB=(2,4) i AC=(0,5) ma wartość 10, więc połowa jego wartości bezwzględnej daje ponownie pole 5.

\[P=\frac{1}{2}|2\cdot 5-4\cdot 0|=5\]

Zadanie 24.2

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(0,-3)\), \(B=(2,1)\) oraz \(C=(0,2)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Środek okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\) ma współrzędne

\(\left(\frac{2}{3},0\right)\)

\(\left(-\frac{1}{2},0\right)\)

\(\left(0,-\frac{2}{3}\right)\)

\(\left(0,-\frac{1}{2}\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przeciwprostokątnej

Iloczyn skalarny wektorów wychodzących z punktu B jest równy zeru, więc kąt przy B jest prosty, a przeciwprostokątną jest AC.

\[\overrightarrow{BA}=(-2,-4),\quad \overrightarrow{BC}=(-2,1),\quad (-2)(-2)+(-4)\cdot1=0\]

2 Wyznaczenie środka okręgu

W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego jest środkiem przeciwprostokątnej. Obliczamy więc środek odcinka AC.

\[S=\left(\frac{0+0}{2},\frac{-3+2}{2}\right)=\left(0,-\frac12\right)\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: środek okręgu ma współrzędne (0, −1/2).

\[S=\left(0,-\frac12\right)\]

Sprawdzenie

Punkt S jest jednakowo odległy od wszystkich trzech wierzchołków: kwadraty odległości wynoszą 25/4.

\[SA^2=SC^2=\left(\frac52\right)^2=\frac{25}{4},\qquad SB^2=2^2+\left(\frac32\right)^2=\frac{25}{4}\]