Zbiór zadań maturalnych

Liczby rzeczywiste — zadania maturalne

Liczby rzeczywiste: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

140 zadańStrona 5 z 10

Sortuj:

Zadanie 5

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \(\frac{3^{-1}}{\left(-\frac{1}{9}\right)^{-2}}\cdot 81\) jest równa

\(\frac{1}{3}\)

\(\left(-\frac{1}{3}\right)\)

\(3\)

\((-3)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie potęg

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, a parzysty wykładnik daje wynik dodatni.

\[3^{-1}=\frac{1}{3},\qquad \left(-\frac{1}{9}\right)^{-2}=(-9)^2=81\]

2 Obliczenie wartości wyrażenia

Podstawiamy obliczone potęgi i skracamy przez 81.

\[\frac{\frac{1}{3}}{81}\cdot81=\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Wynik to 1/3, czyli odpowiedź A.

\[\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Mianownik ma wartość 81, więc jest różny od zera. Iloczyn dzielenia przez 81 i mnożenia przez 81 pozostawia 1/3.

\[\left(\frac{1}{3}:81\right)\cdot81=\frac{1}{3}\]

Zadanie 6

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \((2-\sqrt{3})^2-(\sqrt{3}-2)^2\) jest równa

\((-2\sqrt{3})\)

\(0\)

\(6\)

\(8\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie podstaw potęg

Wyrażenia w nawiasach są liczbami przeciwnymi, więc ich kwadraty są równe.

\[\sqrt{3}-2=-(2-\sqrt{3}),\qquad (\sqrt{3}-2)^2=(2-\sqrt{3})^2\]

2 Obliczenie różnicy

Odejmujemy od siebie równe kwadraty.

\[(2-\sqrt{3})^2-(\sqrt{3}-2)^2=(2-\sqrt{3})^2-(2-\sqrt{3})^2=0\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi 0. Odpowiedź B.

\[0\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu obu kwadratów otrzymujemy tę samą liczbę, więc ich różnica wynosi 0.

\[(2-\sqrt{3})^2=7-4\sqrt{3},\qquad (\sqrt{3}-2)^2=7-4\sqrt{3}\]

Zadanie 1

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_{25}1-\frac{1}{2}\log_{25}5\) jest równa

\(-\frac{1}{4}\)

\(-\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{4}\)

\(\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie logarytmów

Ponieważ każda dodatnia podstawa podniesiona do potęgi zerowej daje 1, a \(25^{1/2}=5\), otrzymujemy wartości obu logarytmów.

\[\log_{25}1=0,\qquad \log_{25}5=\frac{1}{2}\]

2 Podstawienie wartości

Podstawiamy obliczone wartości do wyrażenia i wykonujemy mnożenie.

\[\log_{25}1-\frac{1}{2}\log_{25}5=0-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[-\frac{1}{4}\]

Sprawdzenie

Kontrola: własność logarytmów daje logarytm z odwrotności pierwiastka z 5. Ponieważ \(25^{-1/4}=1/\sqrt{5}\), jego wartość wynosi \(-1/4\).

\[\log_{25}\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)=\log_{25}\!\left(25^{-1/4}\right)=-\frac{1}{4}\]

Zadanie 2

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(3\sqrt{45}-\sqrt{20}\) jest równa

\((7\cdot5)^{\frac{1}{2}}\)

\(5^{\frac{1}{2}}\)

\(7\)

\(7\cdot5^{\frac{1}{2}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie pierwiastków

Wyłączamy przed pierwiastek czynniki będące kwadratami liczb całkowitych.

\[\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt5,\qquad \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt5\]

2 Redukcja wyrazów podobnych

Oba wyrazy zawierają \(\sqrt5\), więc odejmujemy ich współczynniki.

\[3\sqrt{45}-\sqrt{20}=3\cdot3\sqrt5-2\sqrt5=7\sqrt5\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[7\sqrt5=7\cdot5^{\frac12}\]

Sprawdzenie

W odpowiedzi D wykładnik \(\frac12\) oznacza pierwiastek kwadratowy, więc podany tam zapis jest równy otrzymanemu wynikowi.

\[7\cdot5^{\frac12}=7\sqrt5\]

Zadanie 3

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

W ramach wyprzedaży sezonowej płaszcz o początkowej wartości \(240\) zł przeceniono na \(200\) zł. Zatem cenę tego płaszcza obniżono o

\(16\frac{2}{3}\%\) jego początkowej wartości.

\(20\%\) jego początkowej wartości.

\(40\%\) jego początkowej wartości.

\(83\frac{1}{3}\%\) jego początkowej wartości.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kwoty obniżki

Odejmujemy cenę po przecenie od ceny początkowej.

\[240\text{ zł}-200\text{ zł}=40\text{ zł}\]

2 Obliczenie procentu

Dzielimy kwotę obniżki przez cenę początkową, ponieważ pytanie dotyczy procentu początkowej wartości.

\[\frac{40}{240}\cdot100\%=\frac{1}{6}\cdot100\%=16\frac{2}{3}\%\]

Odpowiedź

Cenę obniżono o 16⅔% jej początkowej wartości. Odpowiedź A.

\[16\frac{2}{3}\%\quad\text{A}\]

Sprawdzenie

Jedna szósta z 240 zł to 40 zł, więc po obniżce cena wynosi 200 zł.

\[240\text{ zł}-\frac{1}{6}\cdot240\text{ zł}=200\text{ zł}\]

Zadanie 4

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Wartość wyrażenia \(\frac{3^{-1}}{\left(-\frac{1}{9}\right)^{-2}}\cdot 81\) jest równa

\(\frac{1}{3}\)

\(\left(-\frac{1}{3}\right)\)

\(3\)

\((-3)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie potęg

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność liczby, a parzysty wykładnik usuwa znak minus.

\[3^{-1}=\frac{1}{3},\qquad \left(-\frac{1}{9}\right)^{-2}=(-9)^2=81\]

2 Obliczenie wartości wyrażenia

Podstawiamy obliczone potęgi i skracamy przez 81.

\[\frac{3^{-1}}{\left(-\frac{1}{9}\right)^{-2}}\cdot81=\frac{\frac{1}{3}}{81}\cdot81=\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Mianownik jest równy 81, więc jest różny od zera. Skrócenie przez 81 jest poprawne i daje jedną trzecią.

\[\frac{\frac{1}{3}}{81}\cdot81=\frac{1}{3}\]

Zadanie 5

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Wartość wyrażenia \((2-\sqrt{3})^2-(\sqrt{3}-2)^2\) jest równa

\((-2\sqrt{3})\)

\(0\)

\(6\)

\(8\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie składników

Liczby w nawiasach są przeciwne, więc ich kwadraty są równe.

\[\sqrt{3}-2=-(2-\sqrt{3}),\qquad (\sqrt{3}-2)^2=(2-\sqrt{3})^2\]

2 Obliczenie różnicy

Odejmujemy od siebie dwa równe kwadraty.

\[(2-\sqrt{3})^2-(\sqrt{3}-2)^2=0\]

Odpowiedź

Wynik to 0, odpowiedź B.

\[0\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu oba kwadraty wynoszą 7−4√3, więc ich różnica rzeczywiście jest równa 0.

\[(2-\sqrt{3})^2=7-4\sqrt{3},\qquad (\sqrt{3}-2)^2=7-4\sqrt{3}\]

Zadanie 1

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\sqrt{128}:\sqrt[3]{64}\) jest równa

\(\frac{1}{2}\sqrt{2}\)

\(2\)

\(\sqrt{2}\)

\(2\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie pierwiastków

Wyłączamy spod pierwiastka kwadratowego czynnik będący kwadratem liczby całkowitej i obliczamy pierwiastek sześcienny.

\[\sqrt{128}=\sqrt{64\cdot2}=8\sqrt2,\qquad \sqrt[3]{64}=4\]

2 Obliczenie ilorazu

Dzielimy uproszczone wartości pierwiastków.

\[\sqrt{128}:\sqrt[3]{64}=\frac{8\sqrt2}{4}=2\sqrt2\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[2\sqrt2\]

Sprawdzenie

Mianownik jest różny od zera. Mnożąc wynik przez 4, otrzymujemy pierwotny licznik.

\[4\cdot2\sqrt2=8\sqrt2=\sqrt{128}\]

Zadanie 2

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\frac{2^{-3}\cdot 3^{-3}\cdot 4^{0}}{2^{-1}\cdot 3^{-4}\cdot 4^{-1}}\) jest równa

\(1\)

\(3\)

\(24\)

\(48\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie praw działań na potęgach

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki, a potęga o wykładniku zero jest równa 1.

\[\frac{2^{-3}\cdot 3^{-3}\cdot 4^{0}}{2^{-1}\cdot 3^{-4}\cdot 4^{-1}}=2^{-3-(-1)}\cdot 3^{-3-(-4)}\cdot 4^{0-(-1)}=2^{-2}\cdot 3\cdot 4\]

2 Obliczenie wartości

Ponieważ \(2^{-2}=\frac14\), iloczyn jest równy 3.

\[2^{-2}\cdot 3\cdot 4=\frac14\cdot 3\cdot 4=3\]

Odpowiedź

3, odpowiedź B.

\[3\]

Sprawdzenie

Bezpośrednie podstawienie wartości potęg daje ten sam wynik; wszystkie podstawy w mianowniku są różne od zera.

\[\frac{\frac18\cdot\frac1{27}\cdot1}{\frac12\cdot\frac1{81}\cdot\frac14}=\frac{1/216}{1/648}=3\]

Zadanie 3

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba dwukrotnie większa od \(\log 3+\log 2\) jest równa

\(\log 12\)

\(\log 36\)

\(\log 10\)

\(\log 25\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz logarytmy

Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów jego czynników.

\[\log 3+\log 2=\log(3\cdot 2)=\log 6\]

2 Zastosuj wzór na logarytm potęgi

Dwukrotność logarytmu liczby to logarytm jej kwadratu.

\[2\log 6=\log(6^2)=\log 36\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: logarytm liczby 36.

\[\log 36\]

Sprawdzenie

Ponieważ 36 = (3·2)², własności logarytmów dają z powrotem dwukrotność podanej sumy.

\[\log 36=\log((3\cdot 2)^2)=2(\log 3+\log 2)\]

Zadanie 1

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\frac{8^{-40}}{2^{10}}\) jest równa

\(4^{-4}\)

\(4^{-50}\)

\(2^{-47}\)

\(2^{-130}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zamiana podstawy

Ponieważ 8 jest potęgą liczby 2, zapisujemy licznik z podstawą 2.

\[8^{-40}=(2^3)^{-40}=2^{-120}\]

2 Dzielenie potęg

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki.

\[\frac{8^{-40}}{2^{10}}=\frac{2^{-120}}{2^{10}}=2^{-120-10}=2^{-130}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[2^{-130}\]

Sprawdzenie

Wynik spełnia równoważność wynikającą z definicji potęgi o wykładniku ujemnym.

\[2^{-130}=\frac{1}{2^{130}}=\frac{1}{8^{40}\cdot 2^{10}}=\frac{8^{-40}}{2^{10}}\]

Zadanie 2

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_{2}32-\log_{2}8\) jest równa

\(2\)

\(14\)

\(16\)

\(24\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie logarytmów

Ponieważ \(2^5=32\) i \(2^3=8\), logarytmy są równe odpowiednio 5 i 3. Odejmujemy te wartości.

\[\log_{2}32-\log_{2}8=5-3=2\]

Odpowiedź

2, odpowiedź A.

\[2\]

Sprawdzenie

Otrzymane wartości logarytmów spełniają ich definicję: potęgi dwójki o wykładnikach 5 i 3 dają odpowiednio 32 i 8.

\[2^5=32,\quad 2^3=8\]

Zadanie 3

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\left(5-2\sqrt{3}\right)^{2}\) jest równa

\(25+4\sqrt{3}\)

\(25-4\sqrt{3}\)

\(37+20\sqrt{3}\)

\(37-20\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiń kwadrat

Stosujemy wzór na kwadrat różnicy, aby uwzględnić wyraz mieszany.

\[(5-2\sqrt{3})^2=5^2-2\cdot5\cdot2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2\]

2 Oblicz składniki

Ponieważ \((\sqrt{3})^2=3\), łączymy wyrazy całkowite.

\[25-20\sqrt{3}+4\cdot3=37-20\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Liczba jest równa \(37-20\sqrt{3}\). Odpowiedź D.

\[37-20\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Po odwróceniu rachunku otrzymujemy te same trzy składniki kwadratu różnicy.

\[37-20\sqrt{3}=25+12-20\sqrt{3}=5^2+(2\sqrt{3})^2-2\cdot5\cdot2\sqrt{3}\]

Zadanie 4

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Cenę \(x\) (w złotych) pewnego towaru obniżono najpierw o \(30\%\), a następnie obniżono o \(20\%\) w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po obydwu tych obniżkach cena towaru jest równa

\(0{,}36\cdot x\) złotych.

\(0{,}44\cdot x\) złotych.

\(0{,}50\cdot x\) złotych.

\(0{,}56\cdot x\) złotych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pierwsza obniżka

Po obniżeniu ceny o 30% pozostaje 70% ceny początkowej.

\[x\cdot(1-0{,}30)=0{,}70x\]

2 Druga obniżka

Obniżka o 20% dotyczy już ceny 0,70x, więc pozostaje 80% tej kwoty.

\[0{,}70x\cdot(1-0{,}20)=0{,}70x\cdot0{,}80=0{,}56x\]

Odpowiedź

Cena po obu obniżkach wynosi 0,56x złotych. Odpowiedź D.

\[0{,}56x\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Dla ceny początkowej 100 zł pierwsza obniżka daje 70 zł, a druga 56 zł. To 0,56 ceny początkowej.

\[100\ \text{zł}\cdot0{,}70\cdot0{,}80=56\ \text{zł}\]

Zadanie 15

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

W ciągu dwóch godzin trzy jednakowe maszyny produkują razem \(1200\) guzików. Ile guzików wyprodukuje pięć takich maszyn w ciągu jednej godziny? Przyjmij, że maszyny pracują z taką samą, stałą wydajnością.

\(800\)

\(900\)

\(1000\)

\(1500\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wydajność jednej maszyny

Dzielimy liczbę guzików przez liczbę maszyn i godzin, ponieważ wszystkie maszyny pracują ze stałą wydajnością.

\[\frac{1200}{3\cdot 2}=200\ \text{guzików na godzinę}\]

2 Produkcja pięciu maszyn

Mnożymy wydajność jednej maszyny przez pięć, aby obliczyć produkcję w ciągu jednej godziny.

\[5\cdot 200=1000\ \text{guzików}\]

Odpowiedź

Pięć maszyn wyprodukuje 1000 guzików. Odpowiedź C.

\[1000\ \text{guzików}\quad (\text{C})\]

Sprawdzenie

Przy obliczonej wydajności trzy maszyny w ciągu dwóch godzin produkują 1200 guzików, zgodnie z treścią zadania.

\[3\cdot 2\cdot 200=1200\]