Zbiór zadań maturalnych

Trygonometria — zadania maturalne

Trygonometria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

102 zadańStrona 7 z 7

Sortuj:

Zadanie 16

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Wartość wyrażenia \((\operatorname{tg}60^\circ+\operatorname{tg}45^\circ)^2-\sin60^\circ\) jest równa

\(2-\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

\(2+\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(4-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(4+\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie wartości funkcji

Korzystamy z wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 60° i 45°.

\[\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt{3},\quad \operatorname{tg}45^\circ=1,\quad \sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

2 Obliczenie wyrażenia

Rozwijamy kwadrat sumy, a następnie redukujemy wyrazy z pierwiastkiem.

\[(\sqrt{3}+1)^2-\frac{\sqrt{3}}{2}=3+2\sqrt{3}+1-\frac{\sqrt{3}}{2}=4+\frac{3\sqrt{3}}{2}\]

Odpowiedź

\[4+\frac{3\sqrt{3}}{2}\]

Sprawdzenie

Po odjęciu 4 od wyniku otrzymujemy 3√3/2, czyli wyraz z pierwiastkiem podany w odpowiedzi D.

\[2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}-\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\]

Zadanie 18

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Przekątne równoległoboku mają długości 4 i 8, a kąt między tymi przekątnymi ma miarę \(30^\circ\). Pole tego równoległoboku jest równe

\(32\)

\(16\)

\(12\)

\(8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podział równoległoboku

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy i wyznaczają cztery trójkąty o równych polach. Połówki przekątnych mają długości 2 i 4.

\[\frac{4}{2}=2,\qquad \frac{8}{2}=4\]

2 Obliczenie pola

Pole jednego trójkąta obliczamy ze wzoru na pole przy dwóch bokach i kącie między nimi. Następnie mnożymy je przez 4.

\[P=4\cdot\frac{1}{2}\cdot2\cdot4\cdot\sin30^\circ=4\cdot4\cdot\frac{1}{2}=8\]

Odpowiedź

Pole wynosi 8. Odpowiedź D.

\[P=8\]

Sprawdzenie

Ze wzoru na pole równoległoboku przez przekątne otrzymujemy ten sam wynik.

\[P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot8\cdot\sin30^\circ=8\]

Zadanie 21

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 2, a przekątna ściany bocznej ma długość 3 (zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka, ma miarę \(\alpha\).

Wtedy wartość \(\sin\frac{\alpha}{2}\) jest równa

Graniastosłup prawidłowy czworokątny z zaznaczonymi przekątnymi dwóch ścian bocznych, kątem α między nimi oraz oznaczeniami długości 2 i 3.

\(\frac{2}{3}\)

\(\frac{\sqrt{7}}{3}\)

\(\frac{\sqrt{7}}{7}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Tworzymy trójkąt

Dwie wskazane przekątne ścian bocznych wychodzą z jednego wierzchołka i mają po 3. Ich końce leżą w górnej podstawie kwadratu, a odcinek między nimi jest jego przekątną.

\[d=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\]

2 Dzielimy kąt na połowy

Powstały trójkąt jest równoramienny. Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta \(\alpha\) dzieli ten kąt oraz przeciwległy bok na połowy, więc korzystamy z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym.

\[\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{d/2}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{3}\]

Odpowiedź

Wartość wynosi \(\frac{\sqrt{2}}{3}\), czyli odpowiedź D.

\[\boxed{\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}\quad\text{(D)}}\]

Sprawdzenie

Z twierdzenia Pitagorasa wysokość połowy utworzonego trójkąta ma długość \(\sqrt{7}\). Jej kwadrat i kwadrat połowy podstawy sumują się do \(3^2\), więc użyty trójkąt prostokątny ma właściwe wymiary.

\[(\sqrt{7})^2+(\sqrt{2})^2=7+2=9=3^2\]

Zadanie 33

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

Trójkąt równoboczny \(ABC\) jest podstawą ostrosłupa prawidłowego \(ABCS\), w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ\), a krawędź boczna ma długość \(7\) (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Ostrosłup prawidłowy ABCS o podstawie ABC; przy krawędzi SC oznaczono długość 7.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości

Niech \(O\) będzie środkiem podstawy, a \(M\) środkiem boku \(AB\). Kąt między ścianą boczną a podstawą to \(\angle SMO=60^\circ\). W trójkącie prostokątnym \(SOM\), dla boku podstawy długości \(a\), mamy \(OM=\frac{a\sqrt3}{6}\).

\[h=SO=OM\tan60^\circ=\frac{a\sqrt3}{6}\cdot\sqrt3=\frac a2\]

2 Obliczenie boku podstawy

Środek trójkąta równobocznego leży w odległości \(\frac{a\sqrt3}{3}\) od wierzchołka. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(SOA\) obliczamy \(a\).

\[7^2=SO^2+OA^2=\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac{a\sqrt3}{3}\right)^2=\frac{7a^2}{12},\qquad a^2=84,\quad h=\sqrt{21}\]

3 Obliczenie objętości

Pole podstawy jest polem trójkąta równobocznego. Stosujemy wzór na objętość ostrosłupa.

\[P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4}=21\sqrt3,\qquad V=\frac13P_ph=\frac13\cdot21\sqrt3\cdot\sqrt{21}=21\sqrt7\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi \(21\sqrt7\).

\[V=21\sqrt7\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanych wymiarów krawędź boczna ma długość \(7\), a tangens kąta nachylenia ściany do podstawy wynosi \(\sqrt3\), więc kąt ma \(60^\circ\).

\[SO^2+OA^2=21+28=49=7^2,\qquad \frac{SO}{OM}=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt7}=\sqrt3=\tan60^\circ\]

Zadanie 7

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Wartość wyrażenia \(\sin 120^\circ-\cos 30^\circ\) jest równa

\(\sin 90^\circ\)

\(\sin 150^\circ\)

\(\sin 0^\circ\)

\(\sin 60^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wartości funkcji

Korzystamy z tożsamości dla kąta dopełniającego do 180° oraz ze znanych wartości funkcji trygonometrycznych.

\[\sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

2 Odjęcie wartości

Obie wartości są równe, więc ich różnica wynosi zero.

\[\sin 120^\circ-\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=0\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[0=\sin 0^\circ\]

Sprawdzenie

W odpowiedzi C sinus kąta 0° wynosi 0, czyli tyle samo co obliczone wyrażenie.

\[\sin 0^\circ=0\]

Zadanie 8

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Wyrażenie \(3\sin^3\alpha\cos\alpha+3\sin\alpha\cos^3\alpha\) może być przekształcone do postaci

\(3\)

\(3\sin\alpha\cos\alpha\)

\(3\sin^3\alpha\cos^3\alpha\)

\(6\sin^4\alpha\cos^4\alpha\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłączenie wspólnego czynnika

Oba składniki zawierają \(3\sin\alpha\cos\alpha\), więc wyłączamy go przed nawias.

\[3\sin^3\alpha\cos\alpha+3\sin\alpha\cos^3\alpha=3\sin\alpha\cos\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)\]

2 Zastosowanie tożsamości

Ponieważ \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) dla każdego kąta, upraszczamy nawias.

\[3\sin\alpha\cos\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=3\sin\alpha\cos\alpha\]

Odpowiedź

B. Wyrażenie ma postać \(3\sin\alpha\cos\alpha\).

\[3\sin\alpha\cos\alpha\]

Sprawdzenie

Po wymnożeniu otrzymanej postaci przez \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) wracamy do wyrażenia z zadania.

\[3\sin\alpha\cos\alpha=3\sin\alpha\cos\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=3\sin^3\alpha\cos\alpha+3\sin\alpha\cos^3\alpha\]

Zadanie 18

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Boki trójkąta mają długości 20 i 12, a kąt między tymi bokami ma miarę \(120^\circ\). Pole tego trójkąta jest równe

\(60\)

\(120\)

\(60\sqrt{3}\)

\(120\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sinusa kąta

Kąt 120° jest rozwarty, a jego sinus jest równy sinusowi kąta 60°.

\[\sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

2 Obliczenie pola

Stosujemy wzór na pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi.

\[P=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 12\cdot\sin 120^\circ=120\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=60\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Pole wynosi 60√3. Odpowiedź C.

\[P=60\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Wysokość opuszczona na bok długości 20 wynosi 6√3, więc obliczenie pola daje ten sam wynik.

\[h=12\sin 120^\circ=6\sqrt{3},\qquad P=\frac{20\cdot 6\sqrt{3}}{2}=60\sqrt{3}\]

Zadanie 16

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Sinus kąta ostrego \(\alpha\) jest równy \(\frac{3}{4}\). Wówczas

\(\cos\alpha=\frac{1}{4}\)

\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{4}\)

\(\cos\alpha=\frac{7}{16}\)

\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{13}}{16}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie jedynki trygonometrycznej

Ponieważ suma kwadratów sinusa i cosinusa wynosi 1, obliczamy kwadrat cosinusa.

\[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{7}{16}\]

2 Wybór znaku

Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc jego cosinus jest dodatni.

\[\cos\alpha=\sqrt{\frac{7}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{4}\]

Sprawdzenie

Otrzymane wartości spełniają jedynkę trygonometryczną, a cosinus jest dodatni, zgodnie z warunkiem, że kąt jest ostry.

\[\left(\frac{3}{4}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2=\frac{9}{16}+\frac{7}{16}=1\]

Zadanie 17

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

W trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych \(2\) i \(5\) cosinus większego z kątów ostrych jest równy

\(\frac{5}{2}\)

\(\frac{2}{5}\)

\(\frac{2}{\sqrt{29}}\)

\(\frac{5}{\sqrt{29}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przeciwprostokątnej

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej.

\[c=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}\]

2 Cosinus większego kąta

Większy kąt ostry leży naprzeciw dłuższej przyprostokątnej, czyli boku 5. Jego przyprostokątna przyległa ma długość 2, więc dzielimy ją przez przeciwprostokątną.

\[\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{29}}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\frac{2}{\sqrt{29}}\]

Sprawdzenie

Bok 5 jest dłuższy od boku 2, więc kąt naprzeciw niego jest większy. Otrzymany cosinus jest mniejszy od 1, a jego licznik to długość boku przyległego do tego kąta.

\[0<\frac{2}{\sqrt{29}}<1\]

Zadanie 18

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Pole rombu o boku \(6\) i kącie rozwartym \(150^\circ\) jest równe

\(18\sqrt{2}\)

\(18\)

\(36\sqrt{2}\)

\(36\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wysokości

Wysokość rombu opuszczona na bok długości 6 jest przyprostokątną w trójkącie prostokątnym, więc korzystamy z sinusa kąta 150°.

\[h=6\sin150^\circ=6\cdot\frac12=3\]

2 Obliczenie pola

Pole rombu jest iloczynem długości boku i odpowiadającej mu wysokości.

\[P=6\cdot3=18\]

Odpowiedź

Pole rombu wynosi 18. Odpowiedź B.

\[P=18\]

Sprawdzenie

Kąt ostry rombu ma 30°, a jego sinus także wynosi 1/2. Daje to tę samą wysokość 3 i pole 18.

\[180^\circ-150^\circ=30^\circ,\quad 6\cdot6\sin30^\circ=36\cdot\frac12=18\]

Zadanie 29

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia równość \(\operatorname{tg}\alpha+\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}=\frac{7}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie równania przez sinus i cosinus

Ponieważ kąt jest ostry, sinus i cosinus są dodatnie. Korzystamy z definicji tangensa oraz z jedynki trygonometrycznej.

\[\operatorname{tg}\alpha+\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}\]

2 Obliczenie iloczynu

Przyrównujemy otrzymany ułamek do wartości podanej w zadaniu i odwracamy obie dodatnie strony równania.

\[\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{7}{2}\quad\Longrightarrow\quad\sin\alpha\cos\alpha=\frac{2}{7}\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi \(\frac{2}{7}\).

\[\sin\alpha\cos\alpha=\frac{2}{7}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymanego iloczynu lewa strona równania z zadania wynosi \(\frac{1}{2/7}=\frac{7}{2}\). Ponadto \(0<\frac{2}{7}<\frac{1}{2}\), co jest zgodne z tym, że kąt jest ostry.

\[\operatorname{tg}\alpha+\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{1}{2/7}=\frac{7}{2}\]

Zadanie 33

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Stereometria

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku \(3:4\), a pole jest równe \(192\) (zobacz rysunek). Punkt \(E\) jest wyznaczzony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek \(SE\) jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\). Oblicz objętość ostrosłupa.

Ostrosłup ABCDS o prostokątnej podstawie ABCD. Przekątne podstawy przecinają się w punkcie E, a odcinek SE jest wysokością ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boków podstawy

Boki prostokąta mają stosunek 3:4, więc oznaczamy je przez 3x i 4x. Z pola wyznaczamy dodatnie x.

\[3x\cdot4x=192\;\Rightarrow\;12x^2=192\;\Rightarrow\;x=4,\quad a=12,\quad b=16\]

2 Obliczenie odległości wierzchołka od środka podstawy

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przekątną prostokąta. Przekątne prostokąta dzielą się na połowy, więc AE jest połową przekątnej.

\[AC=\sqrt{12^2+16^2}=20,\qquad AE=\frac{AC}{2}=10\]

3 Obliczenie wysokości

Rzutem krawędzi SA na podstawę jest AE. W trójkącie prostokątnym SAE kąt między SA a AE ma 30°, dlatego stosujemy tangens.

\[\tan30^\circ=\frac{SE}{AE}=\frac{SE}{10}\;\Rightarrow\;SE=\frac{10\sqrt3}{3}\]

4 Obliczenie objętości

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości.

\[V=\frac13\cdot192\cdot\frac{10\sqrt3}{3}=\frac{640\sqrt3}{3}\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi \(\frac{640\sqrt3}{3}\) jednostek sześciennych.

\[V=\frac{640\sqrt3}{3}\]

Sprawdzenie

Boki 12 i 16 dają pole 192 oraz stosunek 3:4. Ponadto \(SE/AE=\sqrt3/3=\tan30^\circ\), więc obliczona wysokość spełnia warunek kąta nachylenia.

\[12\cdot16=192,\qquad 12:16=3:4,\qquad \frac{SE}{AE}=\frac{10\sqrt3/3}{10}=\frac{\sqrt3}{3}=\tan30^\circ\]