Zbiór zadań maturalnych

Kombinatoryka — zadania maturalne

Kombinatoryka: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

Filtry zadań

Znajdź zadanie

Więcej filtrów
Wyczyść filtry
27 zadańStrona 2 z 2
Zadanie 27
Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od \(300\) o wszystkich cyfrach parzystych jest

A
\(6\cdot10\cdot10\)
B
\(3\cdot10\cdot10\)
C
\(6\cdot5\cdot5\)
D
\(3\cdot5\cdot5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór cyfry setek

Liczba ma być większa od 300, a cyfra setek parzysta. Możliwe są więc trzy cyfry setek.

\[4,\ 6,\ 8\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności wybieramy niezależnie spośród pięciu cyfr parzystych. Z zasady mnożenia otrzymujemy liczbę możliwości.

\[3\cdot5\cdot5=75\]

Odpowiedź

Jest 75 takich liczb. Odpowiedź D.

\[75=3\cdot5\cdot5\]

Sprawdzenie

Dla każdej z trzech cyfr setek powstaje 25 liczb. Wszystkie są większe od 300 i mają wyłącznie cyfry parzyste.

\[5\cdot5=25,\qquad 3\cdot25=75\]
Zadanie 26
Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych jest

A
\(9\cdot 2\cdot 10^3\)
B
\(9\cdot 5\cdot 10^3\)
C
\(5\cdot 10^4\)
D
\(4\cdot 10^5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór cyfr

Pierwsza cyfra ma 9 możliwości, bo nie może być zerem. Każda z trzech środkowych cyfr ma 10 możliwości. Ostatnia cyfra ma 5 możliwości, bo liczba parzysta kończy się cyfrą 0, 2, 4, 6 lub 8.

\[9\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 5=9\cdot 5\cdot 10^3=45000\]

Odpowiedź

Jest 45 000 takich liczb. Odpowiedź B.

\[9\cdot 5\cdot 10^3=45000\]

Sprawdzenie

Liczb pięciocyfrowych jest 90 000. Dokładnie połowa z nich jest parzysta, więc wynik to 45 000.

\[\frac{99999-10000+1}{2}=45000\]
Zadanie 23
Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych, w których cyfra tysięcy i cyfra setek są większe od \(4\), a każda z pozostałych cyfr jest mniejsza od \(6\), jest

A
\(4\cdot4\cdot5\cdot5\)
B
\(5\cdot4\cdot6\cdot5\)
C
\(5\cdot5\cdot6\cdot6\)
D
\(4\cdot3\cdot5\cdot4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór dwóch pierwszych cyfr

Cyfra tysięcy i cyfra setek muszą być większe od 4, więc każdą z nich można wybrać na 5 sposobów: od 5 do 9.

\[5\cdot5\]

2 Wybór dwóch pozostałych cyfr

Cyfra dziesiątek i cyfra jedności muszą być mniejsze od 6, więc każdą z nich można wybrać na 6 sposobów: od 0 do 5. Mnożymy liczby możliwości dla kolejnych pozycji.

\[5\cdot5\cdot6\cdot6=900\]

Odpowiedź

Jest 900 takich liczb. Pasuje odpowiedź C.

\[\boxed{5\cdot5\cdot6\cdot6=900}\]

Sprawdzenie

Każda z 900 kombinacji daje liczbę czterocyfrową, bo cyfra tysięcy należy do zbioru od 5 do 9. Pozostałe cyfry spełniają podane ograniczenia, a wybory cyfr są niezależne.

\[5\cdot5\cdot6\cdot6=25\cdot36=900\]
Zadanie 23
Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2020 i podzielnych przez 4?

A
\(506\)
B
\(505\)
C
\(256\)
D
\(255\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie zakresu

Najmniejszą liczbą czterocyfrową jest 1000, a największą mniejszą od 2020 i podzielną przez 4 jest 2016.

\[1000\le n<2020,\qquad 2016=4\cdot504\]

2 Policzenie liczb

Kolejne liczby podzielne przez 4 różnią się o 4. Dzielimy różnicę między skrajnymi liczbami przez 4 i doliczamy pierwszy wyraz.

\[\frac{2016-1000}{4}+1=255\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 255. Odpowiedź D.

\[255\]

Sprawdzenie

Liczba 2016 jest ostatnią uwzględnioną: następna, 2020, nie spełnia warunku „mniejsza od 2020”. Licząc 255 liczb od 1000 co 4, otrzymujemy na końcu 2016.

\[1000+(255-1)\cdot4=2016,\qquad 2016+4=2020\]
Zadanie 21
Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 jest

A
\(60\)
B
\(45\)
C
\(30\)
D
\(15\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie skrajnych liczb

Liczby dwucyfrowe należą do przedziału od 10 do 99. Pierwszą i ostatnią wielokrotnością 6 w tym przedziale są 12 i 96.

\[12=2\cdot 6,\qquad 96=16\cdot 6\]

2 Policzenie wielokrotności

Każdej szukanej liczbie odpowiada jedna liczba całkowita od 2 do 16, więc liczymy te liczby wraz z końcami.

\[16-2+1=15\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 15. Odpowiedź D.

\[15\]

Sprawdzenie

Poprzednia wielokrotność 6 to 6, czyli liczba jednocyfrowa, a następna po 96 to 102, czyli liczba trzycyfrowa. Uwzględniono więc wszystkie dwucyfrowe wielokrotności 6.

\[6<10\leq 12,\qquad 96\leq 99<102\]
Zadanie 24
Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których występują wyłącznie cyfry 1, 2, 3, jest

A
\(54\)
B
\(81\)
C
\(8\)
D
\(27\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie cyfry jedności

Liczba jest parzysta, więc jej ostatnią cyfrą musi być jedyna dostępna cyfra parzysta, czyli 2.

\[c_4=2\]

2 Policzenie możliwości

Na każdą z trzech pozostałych pozycji można niezależnie wybrać jedną z cyfr 1, 2, 3. Każdy taki wybór daje liczbę czterocyfrową.

\[3\cdot3\cdot3\cdot1=27\]

Odpowiedź

D. Jest 27 takich liczb.

\[27\]

Sprawdzenie

Wszystkich liczb z podanych cyfr jest 81. Każda z trzech możliwych cyfr jedności występuje w tylu samo układach, więc z cyfrą jedności 2 jest ich 81 : 3 = 27.

\[3^4:3=81:3=27\]
Zadanie 24
Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry 0 i 2, jest równa

A
\(8\cdot8\cdot8\cdot3\)
B
\(8\cdot7\cdot6\cdot3\)
C
\(8\cdot10\cdot10\cdot4\)
D
\(9\cdot8\cdot7\cdot4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór cyfr

Po wykluczeniu 0 i 2 na każdej z pierwszych trzech pozycji można umieścić jedną z 8 cyfr. Cyfry mogą się powtarzać.

\[\{1,3,4,5,6,7,8,9\},\qquad 8\cdot8\cdot8\]

2 Warunek parzystości

Liczba jest parzysta, gdy jej ostatnią cyfrą jest 4, 6 lub 8. Z zasady mnożenia otrzymujemy liczbę wszystkich możliwości.

\[8\cdot8\cdot8\cdot3=1536\]

Odpowiedź

1536 liczb, odpowiedź A.

\[8\cdot8\cdot8\cdot3=1536\]

Sprawdzenie

Dla każdej z trzech możliwych cyfr jedności istnieje 8³ = 512 zapisów pierwszych trzech cyfr; 3 · 512 = 1536. Każdy taki zapis jest czterocyfrowy, bo 0 jest wykluczone.

\[3\cdot8^3=3\cdot512=1536\]
Zadanie 31
Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Kombinatoryka

Ze zbioru liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}\) losujemy bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby tworzą parę \((a,b)\), gdzie \(a\) jest wynikiem pierwszego losowania, \(b\) jest wynikiem drugiego losowania. Oblicz, ile jest wszystkich par \((a,b)\) takich, że iloczyn \(a\cdot b\) jest liczbą parzystą.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczymy wszystkie pary

Kolejność losowań ma znaczenie. Pierwszą liczbę wybieramy na 15 sposobów, a drugą na 14, ponieważ losujemy bez zwracania.

\[15\cdot14=210\]

2 Odejmujemy pary o nieparzystym iloczynie

Iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. W zbiorze jest 8 takich liczb, więc po wylosowaniu pierwszej pozostaje 7.

\[8\cdot7=56\]

3 Obliczamy liczbę szukanych par

Każda pozostała para ma parzysty iloczyn.

\[210-56=154\]

Odpowiedź

Są 154 takie pary.

\[154\]

Sprawdzenie

W zbiorze jest 7 liczb parzystych. Pary z parzystą pierwszą liczbą można utworzyć na 7·14 sposobów, a pary z nieparzystą pierwszą i parzystą drugą na 8·7 sposobów. Suma wynosi 154.

\[7\cdot14+8\cdot7=98+56=154\]
Zadanie 24
Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż \(2017\)?

A
\(2016\)
B
\(2017\)
C
\(1016\)
D
\(1017\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie zakresu

Najmniejsza liczba czterocyfrowa to 1000. Ponieważ szukane liczby są mniejsze niż 2017, największa z nich to 2016.

\[1000\leq n\leq 2016\]

2 Policzenie liczb

W przedziale liczb całkowitych z oboma końcami wliczonymi odejmujemy końce i dodajemy 1.

\[2016-1000+1=1017\]

Odpowiedź

Jest 1017 takich liczb. Odpowiedź D.

\[1017\]

Sprawdzenie

Od 1000 do 1999 jest 1000 liczb, a od 2000 do 2016 jest 17 liczb; razem 1017.

\[1000+17=1017\]
Zadanie 24
Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3?

A
\(12\)
B
\(24\)
C
\(29\)
D
\(30\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie skrajnych liczb

Pierwszą i ostatnią dwucyfrową wielokrotnością 3 są odpowiednio 12 i 99.

\[12=3\cdot4,\qquad 99=3\cdot33\]

2 Policzenie wielokrotności

Liczymy liczby całkowite od 4 do 33 włącznie, dlatego dodajemy 1.

\[33-4+1=30\]

Odpowiedź

Jest 30 takich liczb. Odpowiedź D.

\[30\]

Sprawdzenie

Wśród liczb od 1 do 99 są 33 wielokrotności 3, a wśród liczb od 1 do 9 są 3. Po ich odjęciu pozostaje 30 liczb dwucyfrowych.

\[\frac{99}{3}-\frac{9}{3}=33-3=30\]
Zadanie 24
Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 i niepodzielnych przez 9?

A
6
B
10
C
12
D
15

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz wielokrotności 6

Dwucyfrowe wielokrotności 6 tworzą ciąg od 12 do 96, o różnicy 6. Liczymy jego wyrazy.

\[\frac{96-12}{6}+1=15\]

2 Odejmij wielokrotności 9

Liczba podzielna jednocześnie przez 6 i 9 jest podzielna przez ich najmniejszą wspólną wielokrotność, czyli 18. Dwucyfrowych wielokrotności 18 jest pięć.

\[\operatorname{NWW}(6,9)=18,\qquad \frac{90-18}{18}+1=5,\qquad 15-5=10\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 10. Odpowiedź B.

\[10\]

Sprawdzenie

Są to liczby 12, 24, 30, 42, 48, 60, 66, 78, 84 i 96. Każda jest dwucyfrowa i podzielna przez 6; żadna nie jest podzielna przez 9. Lista zawiera 10 liczb.

\[10\]
Zadanie 25
Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od 3000, utworzonych wyłącznie z cyfr 1, 2, 3, przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?

A
\(3\)
B
\(6\)
C
\(9\)
D
\(27\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie cyfry tysięcy

Liczba ma być większa od 3000, więc spośród dozwolonych cyfr na miejscu tysięcy musi stać 3.

\[\text{cyfra tysięcy}=3\]

2 Policzenie możliwości

Na każdym z trzech pozostałych miejsc można niezależnie wybrać jedną z trzech cyfr. Z zasady mnożenia otrzymujemy liczbę możliwości.

\[3\cdot 3\cdot 3=27\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 27. Odpowiedź D.

\[27\]

Sprawdzenie

Najmniejsza otrzymana liczba to 3111, więc każda z policzonych liczb jest większa od 3000. Każdy wybór trzech ostatnich cyfr daje inną liczbę.

\[3111>3000\]

2026 Utworzone przez zespół MaturaPodKlucz