Zbiór zadań maturalnych

Trygonometria — zadania maturalne

Trygonometria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

26 zadańStrona 2 z 2

Sortuj:

Zadanie 19

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\sin^3 20^\circ+\cos^2 20^\circ\cdot\sin 20^\circ\) jest równa

\(\cos 20^\circ\)

\(\sin 20^\circ\)

\(\operatorname{tg}20^\circ\)

\(\sin 20^\circ\cdot\cos 20^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

W obu składnikach występuje sinus tego samego kąta, więc wyłączamy go przed nawias.

\[\sin^3 20^\circ+\cos^2 20^\circ\cdot\sin 20^\circ=\sin 20^\circ(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ)\]

2 Zastosuj jedynkę trygonometryczną

Suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta wynosi 1.

\[\sin 20^\circ(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ)=\sin 20^\circ\cdot 1=\sin 20^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(\sin 20^\circ\).

\[\sin 20^\circ\]

Sprawdzenie

Po pomnożeniu \(\sin 20^\circ\) przez \(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ=1\) otrzymujemy wyjściową sumę, więc uproszczenie jest poprawne.

\[\sin 20^\circ(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ)=\sin^3 20^\circ+\cos^2 20^\circ\sin 20^\circ\]

Zadanie 18.2

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

59%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym bok \(BC\) jest przeciwprostokątną, przyprostokątna \(AB\) ma długość \(6\), a środkowa \(CD\) ma długość \(5\). Oznaczmy kąt \(ADC\) przez \(\alpha\), natomiast kąt \(ABC\) – przez \(\beta\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta \(\beta\) jest równy

Rysunek trójkąta prostokątnego ABC z punktem D na boku AB, odcinkiem CD, oznaczeniami kątów α i β oraz długościami 5 i 6.

\(\frac{2}{\sqrt{13}}\)

\(\frac{3}{\sqrt{13}}\)

\(\frac{5}{2\sqrt{13}}\)

\(\frac{4}{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie połowy boku AB

Ponieważ CD jest środkową, punkt D jest środkiem boku AB.

\[AD=DB=\frac{AB}{2}=3\]

2 Obliczenie przyprostokątnej AC

Trójkąt ACD jest prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[AC^2=CD^2-AD^2=5^2-3^2=16,\quad AC=4\]

3 Obliczenie sinusa kąta β

W trójkącie ABC bok AC leży naprzeciw kąta β. Obliczamy przeciwprostokątną BC i korzystamy z definicji sinusa.

\[BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13},\quad \sin\beta=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{\sqrt{13}}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\sin\beta=\frac{2}{\sqrt{13}}\]

Sprawdzenie

Otrzymane długości spełniają twierdzenie Pitagorasa w obu trójkątach prostokątnych.

\[3^2+4^2=5^2,\quad 6^2+4^2=(2\sqrt{13})^2\]

Zadanie 13

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

58%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W okręgu o środku w punkcie \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która utworzyła z promieniem \(AS\) kąt o mierze \(31^\circ\) (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału

Okrąg o środku S z cięciwą AB. Punkt K leży na cięciwie; narysowano odcinki AS i KS. Kąt między AB a AS przy punkcie A ma miarę 31°.

\(\left\langle\frac{9}{2},\frac{11}{2}\right\rangle\)

\(\left(\frac{11}{2},\frac{13}{2}\right\rangle\)

\(\left(\frac{13}{2},\frac{19}{2}\right\rangle\)

\(\left(\frac{19}{2},\frac{37}{2}\right\rangle\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie odległości

Opuszczamy z punktu \(S\) prostopadłą na prostą \(AB\) i oznaczamy jej podstawę przez \(H\). W trójkącie prostokątnym \(AHS\) odległość środka od cięciwy to bok naprzeciw kąta \(31^\circ\).

\[\sin 31^\circ=\frac{SH}{AS}=\frac{SH}{10},\qquad SH=10\sin 31^\circ\]

2 Wybór przedziału

Obliczamy przybliżenie odległości i porównujemy je z końcami przedziałów.

\[SH\approx 10\cdot 0{,}5150=5{,}150,\qquad \frac92<5{,}150<\frac{11}{2}\]

Odpowiedź

Odległość wynosi około \(5{,}15\) i należy do przedziału A.

\[SH=10\sin 31^\circ\in\left\langle\frac92,\frac{11}{2}\right\rangle\]

Sprawdzenie

Otrzymana odległość jest dodatnia i mniejsza od promienia \(10\), a jej przybliżenie leży między \(4{,}5\) a \(5{,}5\).

\[0<5{,}150<10,\qquad 4{,}5<5{,}150<5{,}5\]

Zadanie 17

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

57%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W układzie współrzędnych zaznaczono kąt \(\alpha\) o wierzchołku w punkcie \(O=(0,0)\). Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią \(Ox\), a drugie przechodzi przez punkt \(P=(-3,1)\) (zobacz rysunek).

Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Układ współrzędnych z osiami x i y, kątem α o wierzchołku O oraz ramieniem przechodzącym przez punkt P=(-3,1).

\(\frac{1}{\sqrt{10}}\)

\(\left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)\)

\(\left(-\frac{3}{1}\right)\)

\(\left(-\frac{1}{3}\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie tangensa

Dla ramienia kąta przechodzącego przez punkt \(P=(x,y)\), przy \(x\neq 0\), tangens jest równy \(\frac{y}{x}\). Tutaj \(x=-3\) i \(y=1\).

\[\tan\alpha=\frac{y}{x}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Tangens kąta α wynosi −1/3. Odpowiedź D.

\[\tan\alpha=-\frac{1}{3}\quad\text{(D)}\]

Sprawdzenie

Punkt P leży w II ćwiartce, gdzie tangens jest ujemny. Ponadto prosta OP ma nachylenie −1/3, zgodne z wynikiem.

\[\frac{1-0}{-3-0}=-\frac{1}{3}\]

Zadanie 21

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

51%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=11\), \(|BC|=12\) oraz \(|\angle ABC|=60^\circ\) (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny.	P	F
Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(33\sqrt{3}\).	P	F

Trójkąt ABC: bok AB oznaczony 11, bok BC oznaczony 12, kąt ABC oznaczony 60°.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie trzeciego boku

Znamy dwa boki i kąt między nimi, więc stosujemy twierdzenie cosinusów.

\[|AC|^2=11^2+12^2-2\cdot11\cdot12\cos60^\circ=121+144-132=133,\quad |AC|=\sqrt{133}\]

2 Ocena pierwszego stwierdzenia

Boki o długościach 11 i 12 są różne, a \(121<133<144\), więc trzeci bok także ma inną długość.

\[11<\sqrt{133}<12\quad\Longrightarrow\quad \text{trójkąt nie jest równoramienny (F)}\]

3 Obliczenie pola

Stosujemy wzór na pole z dwóch boków i sinusa kąta między nimi.

\[P=\frac12\cdot11\cdot12\sin60^\circ=66\cdot\frac{\sqrt3}{2}=33\sqrt3\quad\Longrightarrow\quad \text{drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P)}\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: F. Drugie stwierdzenie: P.

\[\boxed{\mathrm{F},\ \mathrm{P}}\]

Sprawdzenie

Wysokość opuszczona z C na prostą AB ma długość \(12\sin60^\circ=6\sqrt3\). Obliczone z niej pole wynosi \(33\sqrt3\), zgodnie z wynikiem.

\[\frac12\cdot11\cdot6\sqrt3=33\sqrt3\]

Zadanie 19

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

50%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) wyrażenie \(\sin^4\alpha+\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha\) jest równe

\(\sin^2\alpha\)

\(\sin^6\alpha\cdot\cos^2\alpha\)

\(\sin^4\alpha+1\)

\(\sin^2\alpha\cdot(\sin\alpha+\cos\alpha)\cdot(\sin\alpha-\cos\alpha)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Oba składniki zawierają \(\sin^2\alpha\), więc wyłączamy je przed nawias.

\[\sin^4\alpha+\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\sin^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)\]

2 Zastosuj jedynkę trygonometryczną

Dla każdego kąta zachodzi \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

\[\sin^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=\sin^2\alpha\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(\sin^2\alpha\).

\[\sin^2\alpha\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\) składniki z \(\sin^4\alpha\) się redukują, co potwierdza wynik dla każdego kąta ostrego.

\[\sin^4\alpha+\sin^2\alpha(1-\sin^2\alpha)=\sin^2\alpha\]

Zadanie 34

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

45%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt \(\alpha\) jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta \(\alpha\).

Ostrosłup prawidłowy czworokątny o wierzchołku S i podstawie ABCD. Krawędzie AB i BC oznaczono liczbą 6; przy wierzchołku A zaznaczono kąt α.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola ścian bocznych

Pole podstawy wynosi 36, a pole całkowite 144. Odejmujemy pole podstawy i dzielimy wynik przez cztery jednakowe ściany boczne.

\[P_p=6^2=36,\qquad P_b=4\cdot36-36=108,\qquad P_{\triangle SAB}=\frac{108}{4}=27\]

2 Wyznaczenie wysokości ostrosłupa

Niech O będzie środkiem podstawy, a M środkiem boku AB. Wysokość ściany bocznej SM obliczamy z jej pola. Następnie stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym SOM.

\[27=\frac{1}{2}\cdot6\cdot SM\Rightarrow SM=9,\qquad OM=3,\qquad SO^2=SM^2-OM^2=9^2-3^2=72\]

3 Obliczenie cosinusa kąta

Rzutem krawędzi AS na podstawę jest AO, więc \(\alpha=\angle SAO\). Połowa przekątnej kwadratu ma długość \(AO=3\sqrt2\). Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy AS, a następnie cosinus w trójkącie prostokątnym ASO.

\[AO=\frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2,\qquad AS=\sqrt{SO^2+AO^2}=\sqrt{72+18}=3\sqrt{10},\qquad \cos\alpha=\frac{AO}{AS}=\frac{3\sqrt2}{3\sqrt{10}}=\frac{\sqrt5}{5}\]

Odpowiedź

Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do podstawy wynosi \(\frac{\sqrt5}{5}\).

\[\cos\alpha=\frac{\sqrt5}{5}\]

Sprawdzenie

W trójkącie ASO zachodzi \(AO^2+SO^2=18+72=90=AS^2\). Otrzymany cosinus należy do przedziału \((0,1)\), zgodnie z ostrym kątem nachylenia.

\[(3\sqrt2)^2+(6\sqrt2)^2=(3\sqrt{10})^2,\qquad 0<\frac{\sqrt5}{5}<1\]

Zadanie 32

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Trygonometria

42%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\operatorname{tg}\alpha=2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin^2\alpha\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie jedynki trygonometrycznej

Ponieważ kąt jest ostry, \(\cos\alpha\neq 0\). Korzystamy z definicji tangensa i równości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

\[\sin^2\alpha=\operatorname{tg}^2\alpha\cos^2\alpha,\qquad (1+\operatorname{tg}^2\alpha)\cos^2\alpha=1\]

2 Obliczenie wartości

Podstawiamy \(\operatorname{tg}\alpha=2\) i wyznaczamy \(\sin^2\alpha\).

\[\cos^2\alpha=\frac{1}{1+2^2}=\frac15,\qquad \sin^2\alpha=2^2\cdot\frac15=\frac45\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi \(\frac45\).

\[\sin^2\alpha=\frac45\]

Sprawdzenie

Otrzymane wartości spełniają jedynkę trygonometryczną; dla kąta ostrego dodatnie sinus i cosinus dają też tangens równy 2.

\[\frac45+\frac15=1,\qquad \frac{\sqrt{4/5}}{\sqrt{1/5}}=2\]

Zadanie 31

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Trygonometria

39%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\frac{2\sin\alpha+3\cos\alpha}{\cos\alpha}=4\). Oblicz tangens kąta \(\alpha\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekształcenie warunku

Kąt jest ostry, więc cosinus jest dodatni i można podzielić przez niego licznik ułamka. Iloraz sinusa i cosinusa to tangens.

\[\frac{2\sin\alpha+3\cos\alpha}{\cos\alpha}=2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+3=2\tan\alpha+3=4\]

2 Obliczenie tangensa

Odejmujemy 3 od obu stron równania, a następnie dzielimy przez 2.

\[2\tan\alpha=1\quad\Longrightarrow\quad\tan\alpha=\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Tangens kąta α wynosi 1/2.

\[\tan\alpha=\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymanej wartości do warunku dostajemy 4. Wynik jest dodatni, zgodnie z tym, że kąt α jest ostry.

\[2\cdot\frac{1}{2}+3=4\]

Zadanie 18

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

21%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) wyrażenie \(\sin^4\alpha+\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha\) jest równe

\(\sin^2\alpha\)

\(\sin^6\alpha\cdot\cos^2\alpha\)

\(\sin^4\alpha+1\)

\(\sin^2\alpha\cdot(\sin\alpha+\cos\alpha)\cdot(\sin\alpha-\cos\alpha)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Oba składniki zawierają \(\sin^2\alpha\), więc wyłączamy go przed nawias.

\[\sin^4\alpha+\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\sin^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)\]

2 Zastosuj tożsamość trygonometryczną

Dla każdego kąta zachodzi \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

\[\sin^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=\sin^2\alpha\cdot1=\sin^2\alpha\]

Odpowiedź

A. Wyrażenie jest równe \(\sin^2\alpha\).

\[\sin^2\alpha\]

Sprawdzenie

Dla \(\alpha=30^\circ\) wyrażenie ma wartość \(\frac{1}{16}+\frac{3}{16}=\frac14\), a \(\sin^2 30^\circ=\frac14\).

\[\sin^4 30^\circ+\sin^2 30^\circ\cos^2 30^\circ=\frac{1}{16}+\frac{3}{16}=\frac14=\sin^2 30^\circ\]

Zadanie 34

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

21%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\), którego krawędź boczna ma długość \(6\) (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy \(\sqrt{7}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rysunek ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS z krawędzią boczną SC oznaczoną liczbą 6.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości

Niech O będzie środkiem kwadratu ABCD, a M środkiem boku BC. W ostrosłupie prawidłowym SO jest wysokością, a kąt SMO jest kątem nachylenia ściany bocznej do podstawy. Ponieważ OM jest połową boku podstawy, z definicji tangensa wyznaczamy wysokość h.

\[OM=\frac a2,\qquad \tan\angle SMO=\frac{SO}{OM}=\sqrt7,\qquad h=SO=\frac{a\sqrt7}{2}\]

2 Obliczenie boku podstawy

Przekątna kwadratu ma długość a√2, więc OC jest połową przekątnej. W trójkącie prostokątnym SOC stosujemy twierdzenie Pitagorasa; SC=6.

\[OC=\frac{a\sqrt2}{2},\qquad 6^2=\left(\frac{a\sqrt7}{2}\right)^2+\left(\frac{a\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{9a^2}{4},\qquad a=4,\quad h=2\sqrt7\]

3 Obliczenie objętości

Pole kwadratowej podstawy wynosi a². Podstawiamy je i wysokość do wzoru na objętość ostrosłupa.

\[V=\frac13a^2h=\frac13\cdot 4^2\cdot 2\sqrt7=\frac{32\sqrt7}{3}\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi \(\frac{32\sqrt7}{3}\) jednostek sześciennych.

\[V=\frac{32\sqrt7}{3}\]

Sprawdzenie

Dla boku podstawy 4 odległość O od boku BC wynosi 2, więc tangens kąta nachylenia to \(2\sqrt7/2=\sqrt7\). Krawędź boczna ma długość \(\sqrt{(2\sqrt7)^2+(2\sqrt2)^2}=6\), zgodnie z danymi.

\[\frac{h}{OM}=\frac{2\sqrt7}{2}=\sqrt7,\qquad SC=\sqrt{28+8}=6\]