Zbiór zadań maturalnych

Wyrażenia algebraiczne — zadania maturalne

Wyrażenia algebraiczne: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

Filtry zadań

Znajdź zadanie

Więcej filtrów
Wyczyść filtry
39 zadańStrona 3 z 3
Zadanie 28
Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Równania i nierówności

Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(4x+\frac{1}{x}\geq 4\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś 4 na lewą stronę

Aby udowodnić nierówność, wystarczy wykazać, że różnica jej stron jest nieujemna. Ponieważ x>0, możemy sprowadzić wyrażenia do wspólnego mianownika.

\[4x+\frac{1}{x}-4=\frac{4x^2-4x+1}{x}=\frac{(2x-1)^2}{x}\]

2 Oceń znak różnicy

Kwadrat jest nieujemny, a mianownik jest dodatni, więc otrzymany ułamek jest nieujemny.

\[x>0,\quad (2x-1)^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad 4x+\frac{1}{x}-4\geq 0\]

Odpowiedź

Dla każdego x>0 zachodzi podana nierówność. Równość występuje dla x=1/2.

\[4x+\frac{1}{x}\geq 4\quad\text{dla }x>0\]

Sprawdzenie

Dla x=1/2, które spełnia warunek x>0, lewa strona wynosi 4. Dla pozostałych dodatnich x kwadrat (2x−1)² jest dodatni, więc nierówność jest ostra.

\[4\cdot\frac12+\frac{1}{\frac12}=2+2=4\]
Zadanie 5
Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Wyrażenia algebraiczne

Najmniejsza wartość wyrażenia \((x-y)(x+y)\) dla \(x,y\in\{2,3,4\}\) jest równa

A
\(2\)
B
\(-24\)
C
\(0\)
D
\(-12\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekształcenie wyrażenia

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów, aby łatwiej porównać wartości.

\[(x-y)(x+y)=x^2-y^2\]

2 Wyznaczenie minimum

Różnica jest najmniejsza, gdy z podanego zbioru wybierzemy najmniejsze x i największe y, czyli x=2 oraz y=4.

\[\min(x^2-y^2)=2^2-4^2=4-16=-12\]

Odpowiedź

Najmniejsza wartość to −12. Odpowiedź D.

\[-12\]

Sprawdzenie

Liczby 2 i 4 należą do podanego zbioru. Dla tej pary pierwotne wyrażenie ma wartość −12; żadne inne dopuszczalne x nie ma mniejszego kwadratu niż 2, a żadne y większego niż 4.

\[(2-4)(2+4)=(-2)\cdot 6=-12\]
Zadanie 24
Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Wyrażenia algebraiczne

Dane są dwie sumy algebraiczne \(3x^3-2x\) oraz \(-3x^2-2\). Iloczyn tych sum jest równy

A
\(-9x^5+4x\)
B
\(-9x^6+6x^3-6x^2+4x\)
C
\(-9x^5+6x^3-6x^2+4x\)
D
\(-9x^6+4x\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Mnożenie sum

Stosujemy rozdzielność mnożenia względem dodawania: każdy składnik pierwszej sumy mnożymy przez każdy składnik drugiej.

\[(3x^3-2x)(-3x^2-2)=-9x^5-6x^3+6x^3+4x\]

2 Redukcja wyrazów podobnych

Wyrazy z \(x^3\) mają przeciwne współczynniki, więc się znoszą.

\[-9x^5-6x^3+6x^3+4x=-9x^5+4x\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[-9x^5+4x\]

Sprawdzenie

Po wyłączeniu wspólnych czynników otrzymujemy różnicę kwadratów, która daje ten sam wynik.

\[(3x^3-2x)(-3x^2-2)=-x(3x^2-2)(3x^2+2)=-x(9x^4-4)=-9x^5+4x\]
Zadanie 28
Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x, y\) prawdziwa jest nierówność \[x^4+y^4+x^2+y^2\geq 2(x^3+y^3).\]

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby wykazać nierówność, wystarczy pokazać, że różnica jej stron jest nieujemna.

\[x^4+y^4+x^2+y^2-2(x^3+y^3)=x^4-2x^3+x^2+y^4-2y^3+y^2\]

2 Zapisz różnicę jako sumę kwadratów

Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy. Każdy otrzymany składnik jest nieujemny dla liczb rzeczywistych.

\[x^4-2x^3+x^2+y^4-2y^3+y^2=x^2(x-1)^2+y^2(y-1)^2\geq 0\]

Odpowiedź

Nierówność zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x,y\). Równość występuje wtedy i tylko wtedy, gdy \(x,y\in\{0,1\}\).

\[x^4+y^4+x^2+y^2\geq 2(x^3+y^3)\]

Sprawdzenie

Suma dwóch nieujemnych składników jest równa zeru dokładnie wtedy, gdy oba są zerowe. Daje to \(x\in\{0,1\}\) oraz \(y\in\{0,1\}\), zgodnie z podanym warunkiem równości.

\[x^2(x-1)^2+y^2(y-1)^2=0\iff x,y\in\{0,1\}\]
Zadanie 28
Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste \(a\), \(b\), \(c\) spełniają warunek \(abc=1\), to \(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=ab+ac+bc\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie warunków

Ponieważ iloczyn liczb wynosi 1, żadna z nich nie jest zerem. Możemy więc obliczać ich odwrotności.

\[abc=1\implies a\ne 0,\ b\ne 0,\ c\ne 0\]

2 Zastąpienie odwrotności iloczynami

Z warunku \(abc=1\) dzielimy kolejno przez \(a\), \(b\) i \(c\), a następnie dodajemy otrzymane równości.

\[\frac1a=bc,\quad \frac1b=ac,\quad \frac1c=ab\quad\implies\quad a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=ab+ac+bc\]

Odpowiedź

Równość zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych spełniających \(abc=1\).

\[a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=ab+ac+bc\]

Sprawdzenie

Po pomnożeniu obu stron wykazywanej równości przez niezerowy iloczyn \(abc=1\) otrzymujemy po obu stronach tę samą sumę.

\[abc\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)=bc+ac+ab=abc(ab+ac+bc)\]
Zadanie 4
Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenie \(3a^2-12ab+12b^2\) może być przekształcone do postaci

A
\(3(a^2-b^2)^2\)
B
\(3(a-2b^2)^2\)
C
\(3(a-2b)^2\)
D
\(3(a+2b)^2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Każdy składnik jest podzielny przez 3, więc wyłączamy 3 przed nawias.

\[3a^2-12ab+12b^2=3(a^2-4ab+4b^2)\]

2 Zastosuj wzór skróconego mnożenia

Wyrażenie w nawiasie jest kwadratem różnicy, ponieważ \(4b^2=(2b)^2\) oraz \(-4ab=-2\cdot a\cdot 2b\).

\[3(a^2-4ab+4b^2)=3(a-2b)^2\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C.

\[3(a-2b)^2\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu otrzymujemy wyrażenie podane w zadaniu.

\[3(a-2b)^2=3(a^2-4ab+4b^2)=3a^2-12ab+12b^2\]
Zadanie 29
Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Wyrażenia algebraiczne

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(3x^2+5y^2-4xy\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przedstawienie jako sumy kwadratów

Uzupełniamy wyrażenie do kwadratu, aby móc skorzystać z nieujemności kwadratów liczb rzeczywistych.

\[3x^2+5y^2-4xy=(x-2y)^2+2x^2+y^2\]

2 Wykazanie nierówności

Każdy składnik otrzymanej sumy jest nieujemny dla liczb rzeczywistych, więc cała suma jest nieujemna.

\[(x-2y)^2+2x^2+y^2\geq 0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych x i y. Równość zachodzi tylko dla x=y=0.

\[3x^2+5y^2-4xy\geq 0\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu kwadratu otrzymujemy wyjściowe wyrażenie. Suma jest równa zeru tylko wtedy, gdy x=0 i y=0; po podstawieniu rzeczywiście otrzymujemy 0.

\[(x-2y)^2+2x^2+y^2=x^2-4xy+4y^2+2x^2+y^2=3x^2+5y^2-4xy\]
Zadanie 6
Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Wyrażenia algebraiczne

Wartość wyrażenia \((a+5)^2\) jest większa od wartości wyrażenia \((a^2+10a)\) o

A
\(50\)
B
\(10\)
C
\(5\)
D
\(25\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy

Aby ustalić, o ile pierwsze wyrażenie jest większe, odejmujemy od niego drugie. Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy.

\[(a+5)^2-(a^2+10a)=a^2+10a+25-a^2-10a=25\]

Odpowiedź

Wartość pierwszego wyrażenia jest większa o 25. Odpowiedź D.

\[25\]

Sprawdzenie

Dla a=0 pierwsze wyrażenie ma wartość 25, a drugie 0, więc różnica wynosi 25. Przekształcenie pokazuje, że ta różnica jest taka sama dla każdego a.

\[(0+5)^2-(0^2+10\cdot 0)=25\]
Zadanie 30
Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^3+y^3\geq x^2y+xy^2\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby wykazać nierówność, wystarczy sprawdzić, czy różnica jej stron jest nieujemna.

\[x^3+y^3-x^2y-xy^2\geq 0\]

2 Wyłącz wspólny czynnik

Grupujemy wyrazy, aby otrzymać kwadrat różnicy.

\[x^3+y^3-x^2y-xy^2=(x+y)(x^2-2xy+y^2)=(x+y)(x-y)^2\]

3 Ustal znak iloczynu

Ponieważ \(x,y\geq 0\), mamy \(x+y\geq 0\). Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc cały iloczyn jest nieujemny.

\[(x+y)(x-y)^2\geq 0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich nieujemnych \(x\) i \(y\). Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(x=y\).

\[x^3+y^3\geq x^2y+xy^2\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu \(x=y=t\geq 0\) obie strony wynoszą \(2t^3\). Gdy \(x\ne y\), kwadrat \((x-y)^2\) i suma \(x+y\) są dodatnie, więc nierówność jest ostra.

\[t^3+t^3=t^2t+tt^2=2t^3\]

2026 Utworzone przez zespół MaturaPodKlucz