Zbiór zadań maturalnych

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej — zadania maturalne

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

39 zadańStrona 3 z 3

Sortuj:

Zadanie 24

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

41%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest równoległobok \(ABCD\), w którym \(A=(-2,6)\) oraz \(B=(10,2)\). Przekątne \(AC\) oraz \(BD\) tego równoległoboku przecinają się w punkcie \(P=(6,7)\).

Oblicz długość boku \(BC\) tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu C

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc P jest środkiem odcinka AC. Korzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka.

\[\left(\frac{-2+x_C}{2},\frac{6+y_C}{2}\right)=(6,7)\quad\Rightarrow\quad x_C=14,\ y_C=8\]

2 Obliczenie długości BC

Stosujemy wzór na odległość punktów B=(10,2) i C=(14,8).

\[|BC|=\sqrt{(14-10)^2+(8-2)^2}=\sqrt{16+36}=2\sqrt{13}\]

Odpowiedź

Długość boku BC wynosi \(2\sqrt{13}\).

\[|BC|=2\sqrt{13}\]

Sprawdzenie

Środek odcinka AC ma współrzędne (6,7), zgodne z danym punktem P. Kwadrat obliczonej długości BC jest równy sumie kwadratów różnic współrzędnych: 52.

\[\left(\frac{-2+14}{2},\frac{6+8}{2}\right)=(6,7),\qquad (2\sqrt{13})^2=4^2+6^2=52\]

Zadanie 30

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

41%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W układzie współrzędnych są dane punkty \(A=(-43,-12)\), \(B=(50,19)\). Prosta \(AB\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\). Oblicz pierwszą współrzędną punktu \(P\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie równania prostej

Obliczamy współczynnik kierunkowy z dwóch punktów, a następnie podstawiamy współrzędne punktu A.

\[a=\frac{19-(-12)}{50-(-43)}=\frac{31}{93}=\frac13,\qquad y+12=\frac13(x+43),\qquad y=\frac{x+7}{3}\]

2 Wyznaczenie punktu przecięcia z osią Ox

Każdy punkt osi Ox ma drugą współrzędną równą zero, więc podstawiamy y=0.

\[0=\frac{x+7}{3}\quad\Longrightarrow\quad x=-7\]

Odpowiedź

Pierwsza współrzędna punktu P wynosi −7.

\[P=(-7,0)\]

Sprawdzenie

Dla x=−7 równanie prostej daje y=0. Ponadto podstawienie współrzędnych A i B daje odpowiednio −12 i 19, więc jest to właściwa prosta.

\[\frac{-7+7}{3}=0,\qquad \frac{-43+7}{3}=-12,\qquad \frac{50+7}{3}=19\]

Zadanie 32

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

31%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dane są punkty \(A=(-4,0)\) i \(M=(2,9)\) oraz prosta \(k\) o równaniu \(y=-2x+10\). Wierzchołek \(B\) trójkąta \(ABC\) to punkt przecięcia prostej \(k\) z osią \(Ox\) układu współrzędnych, a wierzchołek \(C\) jest punktem przecięcia prostej \(k\) z prostą \(AM\). Oblicz pole trójkąta \(ABC\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu B

Punkt na osi Ox ma drugą współrzędną równą zero, więc podstawiamy y=0 do równania prostej k.

\[0=-2x+10\quad\Rightarrow\quad x=5,\qquad B=(5,0)\]

2 Równanie prostej AM

Obliczamy współczynnik kierunkowy z dwóch danych punktów, a następnie podstawiamy punkt A do równania prostej.

\[a=\frac{9-0}{2-(-4)}=\frac32,\qquad y=\frac32(x+4)=\frac32x+6\]

3 Wyznaczenie punktu C

Punkt C należy do obu prostych, dlatego przyrównujemy ich prawe strony.

\[\frac32x+6=-2x+10\quad\Rightarrow\quad \frac72x=4\quad\Rightarrow\quad x=\frac87,\qquad y=\frac32\cdot\frac87+6=\frac{54}{7}\]

4 Obliczenie pola

Odcinek AB leży na osi Ox, więc jego długość jest podstawą, a druga współrzędna punktu C jest wysokością trójkąta.

\[|AB|=5-(-4)=9,\qquad P=\frac12\cdot9\cdot\frac{54}{7}=\frac{243}{7}\]

Odpowiedź

Pole trójkąta ABC wynosi 243/7 jednostek kwadratowych.

\[P_{ABC}=\frac{243}{7}\]

Sprawdzenie

Punkt C spełnia równanie prostej k, a podstawa AB i wysokość są dodatnie.

\[-2\cdot\frac87+10=\frac{54}{7},\qquad |AB|=9>0,\qquad h=\frac{54}{7}>0\]

Zadanie 25

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

30%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dana jest prosta o równaniu \(y=2x-3\). Obrazem tej prostej w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest prosta o równaniu

\(y=2x+3\)

\(y=-2x-3\)

\(y=-2x+3\)

\(y=2x-3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie symetrii

W symetrii środkowej względem początku układu oba znaki współrzędnych zmieniają się na przeciwne.

\[(x,y)\mapsto(x',y')=(-x,-y)\]

2 Wyznaczenie równania obrazu

Podstawiamy \(x=-x'\) i \(y=-y'\) do równania danej prostej, aby otrzymać równanie dla punktów obrazu.

\[-y'=2(-x')-3\quad\Longrightarrow\quad y'=2x'+3\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(y=2x+3\).

\[y=2x+3\]

Sprawdzenie

Punkt \((0,-3)\) leży na danej prostej. Jego obraz \((0,3)\) spełnia otrzymane równanie: \(3=2\cdot0+3\).

\[(0,-3)\mapsto(0,3),\qquad 3=2\cdot0+3\]

Zadanie 35

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

29%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty \(A=(-20,12)\) i \(B=(7,3)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Wierzchołek \(C\) leży na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) oraz obwód tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współrzędnej C

Punkt C leży na osi Oy, więc ma postać C=(0,y). Przyrównujemy kwadraty długości ramion AC i BC, aby uniknąć pierwiastków.

\[AC^2=BC^2\iff 20^2+(y-12)^2=7^2+(y-3)^2\iff 544-24y=58-6y\iff y=27\]

2 Obliczenie obwodu

Ramiona mają tę samą długość. Długość podstawy AB obliczamy ze wzoru na odległość punktów.

\[AC=\sqrt{20^2+15^2}=25,\qquad AB=\sqrt{27^2+(-9)^2}=9\sqrt{10},\qquad P=2\cdot25+9\sqrt{10}=50+9\sqrt{10}\]

Odpowiedź

Wierzchołek C ma współrzędne (0,27), a obwód trójkąta wynosi 50+9√10 jednostek długości.

\[C=(0,27),\qquad P=50+9\sqrt{10}\]

Sprawdzenie

Punkt C leży na osi Oy. Ponadto BC=25=AC, a długość podstawy jest dodatnia i mniejsza od sumy ramion.

\[BC=\sqrt{7^2+24^2}=25=AC,\qquad 0<9\sqrt{10}<50\]

Zadanie 32

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

29%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W układzie współrzędnych punkty \(A=(4,3)\) i \(B=(10,5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=2x+3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), dla którego kąt \(ABC\) jest prosty.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek kąta prostego

Kąt ABC ma wierzchołek w punkcie B, więc wektory BA i BC muszą być prostopadłe. Ich iloczyn skalarny jest wtedy równy zeru.

\[\overrightarrow{BA}=(-6,-2),\quad \overrightarrow{BC}=(x-10,y-5),\quad -6(x-10)-2(y-5)=0\]

2 Wyznaczenie punktu C

Upraszczamy warunek prostopadłości i podstawiamy równanie prostej, na której leży C.

\[3x+y=35,\quad y=2x+3\quad\Longrightarrow\quad 5x+3=35\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{32}{5},\ y=\frac{79}{5}\]

Odpowiedź

Punkt C ma współrzędne (32/5, 79/5).

\[C=\left(\frac{32}{5},\frac{79}{5}\right)\]

Sprawdzenie

Punkt leży na podanej prostej, a iloczyn skalarny wektorów BA i BC wynosi zero, więc kąt ABC jest prosty.

\[2\cdot\frac{32}{5}+3=\frac{79}{5},\qquad (-6)\left(-\frac{18}{5}\right)+(-2)\cdot\frac{54}{5}=0\]

Zadanie 33

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

24%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest punkt \(A=(-18,10)\). Prosta o równaniu \(y=3x\) jest symetralną odcinka \(AB\). Wyznacz współrzędne punktu \(B\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek dla środka odcinka

Symetralna przechodzi przez środek odcinka. Oznaczamy \(B=(u,v)\) i podstawiamy współrzędne środka do równania \(y=3x\).

\[M=\left(\frac{u-18}{2},\frac{v+10}{2}\right),\quad \frac{v+10}{2}=3\cdot\frac{u-18}{2},\quad v=3u-64\]

2 Warunek prostopadłości

Odcinek \(AB\) jest prostopadły do prostej \(y=3x\). Wektor kierunkowy tej prostej to \((1,3)\), więc jego iloczyn skalarny z wektorem \(\overrightarrow{AB}\) jest równy zeru.

\[(u+18,v-10)\cdot(1,3)=0,\quad u+3v-12=0\]

3 Wyznaczenie współrzędnych

Podstawiamy pierwszą zależność do drugiej i obliczamy obie współrzędne punktu \(B\).

\[u+3(3u-64)-12=0,\quad 10u=204,\quad u=\frac{102}{5},\quad v=3\cdot\frac{102}{5}-64=-\frac{14}{5}\]

Odpowiedź

Punkt B ma współrzędne \(\left(\frac{102}{5},-\frac{14}{5}\right)\).

\[B=\left(\frac{102}{5},-\frac{14}{5}\right)\]

Sprawdzenie

Środek odcinka leży na prostej \(y=3x\), a odcinek \(AB\) jest do niej prostopadły. Zatem ta prosta rzeczywiście jest symetralną odcinka \(AB\).

\[M=\left(\frac65,\frac{18}{5}\right),\quad \frac{18}{5}=3\cdot\frac65,\quad \overrightarrow{AB}\cdot(1,3)=\left(\frac{192}{5},-\frac{64}{5}\right)\cdot(1,3)=0\]

Zadanie 32

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

22%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest kwadrat \(ABCD\), w którym \(A=\left(5,-\frac{5}{3}\right)\). Przekątna \(BD\) tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu \(y=\frac{4}{3}x\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) oraz pole kwadratu \(ABCD\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Równanie przekątnej AC

Przekątne kwadratu są prostopadłe. Prosta BD ma współczynnik kierunkowy \(\frac{4}{3}\), więc prosta AC, przechodząca przez A, ma współczynnik \(-\frac{3}{4}\).

\[y+\frac{5}{3}=-\frac{3}{4}(x-5)\]

2 Punkt przecięcia przekątnych

Podstawiamy równanie prostej BD do równania AC. Otrzymane współrzędne wyznaczają środek kwadratu O.

\[\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}=-\frac{3}{4}(x-5)\;\Longrightarrow\;16x+20=-9x+45\;\Longrightarrow\;x=1,\quad y=\frac{4}{3}\]

3 Pole kwadratu

Przekątne kwadratu przecinają się w połowie, zatem \(AC=2AO\). Pole kwadratu jest równe połowie kwadratu długości przekątnej.

\[AO^2=(5-1)^2+\left(-\frac{5}{3}-\frac{4}{3}\right)^2=16+9=25,\quad AC=10,\quad P=\frac{AC^2}{2}=50\]

Odpowiedź

Punkt przecięcia przekątnych ma współrzędne \(\left(1,\frac{4}{3}\right)\), a pole kwadratu wynosi \(50\).

\[O=\left(1,\frac{4}{3}\right),\qquad P=50\]

Sprawdzenie

Punkt O leży na BD. Wektor AO ma kierunek prostopadły do BD, a długość przekątnej wynosi 10, co potwierdza obliczone pole.

\[\frac{4}{3}=\frac{4}{3}\cdot1,\qquad (O-A)\cdot(3,4)=(-4,3)\cdot(3,4)=0,\qquad \frac{10^2}{2}=50\]

Zadanie 34

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

17%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kwadracie \(ABCD\) punkty \(A=(-8,-2)\) oraz \(C=(0,4)\) są końcami przekątnej. Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną \(BD\) tego kwadratu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Środek przekątnych

Przekątne kwadratu przecinają się w swoich środkach, więc prosta BD przechodzi przez środek odcinka AC.

\[S=\left(\frac{-8+0}{2},\frac{-2+4}{2}\right)=(-4,1)\]

2 Kierunek prostej BD

Przekątne kwadratu są prostopadłe. Wektor AC ma współrzędne (8,6), więc prostopadłym do niego wektorem kierunkowym BD jest (3,-4).

\[\overrightarrow{AC}=(8,6),\qquad 8\cdot3+6\cdot(-4)=0\]

3 Równanie prostej

Podstawiamy punkt S i współczynnik kierunkowy -4/3 do równania prostej.

\[y-1=-\frac{4}{3}(x+4)\quad\Longleftrightarrow\quad 4x+3y+13=0\]

Odpowiedź

Prosta zawierająca przekątną BD ma równanie 4x+3y+13=0.

\[4x+3y+13=0\]

Sprawdzenie

Środek przekątnej AC należy do otrzymanej prostej, a jej kierunek jest prostopadły do AC.

\[4\cdot(-4)+3\cdot1+13=0,\qquad (8,6)\cdot(3,-4)=0\]