Otwarte5 pkt
Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej
29%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Punkty \(A=(-20,12)\) i \(B=(7,3)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Wierzchołek \(C\) leży na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) oraz obwód tego trójkąta.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie współrzędnej C
Punkt C leży na osi Oy, więc ma postać C=(0,y). Przyrównujemy kwadraty długości ramion AC i BC, aby uniknąć pierwiastków.
\[AC^2=BC^2\iff 20^2+(y-12)^2=7^2+(y-3)^2\iff 544-24y=58-6y\iff y=27\]
2 Obliczenie obwodu
Ramiona mają tę samą długość. Długość podstawy AB obliczamy ze wzoru na odległość punktów.
\[AC=\sqrt{20^2+15^2}=25,\qquad AB=\sqrt{27^2+(-9)^2}=9\sqrt{10},\qquad P=2\cdot25+9\sqrt{10}=50+9\sqrt{10}\]
Odpowiedź
Wierzchołek C ma współrzędne (0,27), a obwód trójkąta wynosi 50+9√10 jednostek długości.
\[C=(0,27),\qquad P=50+9\sqrt{10}\]
Sprawdzenie
Punkt C leży na osi Oy. Ponadto BC=25=AC, a długość podstawy jest dodatnia i mniejsza od sumy ramion.
\[BC=\sqrt{7^2+24^2}=25=AC,\qquad 0<9\sqrt{10}<50\]