Zbiór zadań maturalnych

Funkcje — zadania maturalne

Funkcje: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

159 zadańStrona 11 z 11

Sortuj:

Zadanie 29

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem $f(x)=x^2-11x$. Oblicz najmniejszą wartość funkcji $f$ w przedziale $\langle -6,6\rangle$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie postaci kanonicznej

Uzupełniamy kwadrat, aby odczytać najmniejszą wartość funkcji.

\[f(x)=x^2-11x=\left(x-\frac{11}{2}\right)^2-\frac{121}{4}\]

2 Sprawdzenie przedziału

Kwadrat jest nieujemny, a punkt, w którym jest równy zeru, należy do danego przedziału.

\[-6\leq\frac{11}{2}\leq 6\]

Odpowiedź

Najmniejsza wartość funkcji w podanym przedziale wynosi $-\frac{121}{4}$.

\[\min_{x\in[-6,6]}f(x)=f\left(\frac{11}{2}\right)=-\frac{121}{4}\]

Sprawdzenie

Dla każdego x z przedziału kwadrat we wzorze funkcji jest nieujemny, a dla $x=\frac{11}{2}$ wynosi zero. Otrzymana wartość jest więc osiągana i żadna mniejsza nie jest możliwa.

\[f(x)+\frac{121}{4}=\left(x-\frac{11}{2}\right)^2\geq 0\]

Zadanie 9

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiony jest fragment prostej o równaniu $y=ax+b$ przechodzącej przez punkty $(0,-2)$ i $(6,2)$.

Wtedy

Wykres prostej w układzie współrzędnych z zaznaczonymi punktami (0,−2) i (6,2) oraz liniami przerywanymi wskazującymi współrzędne punktu (6,2).

$a=\frac{2}{3},\ b=-2$

$a=3,\ b=-2$

$a=\frac{3}{2},\ b=2$

$a=-3,\ b=2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Dla punktu o współrzędnej x równej 0 równanie prostej daje y=b. Z punktu (0,−2) otrzymujemy b=−2.

\[-2=a\cdot 0+b,\quad b=-2\]

2 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Podstawiamy współrzędne punktu (6,2) oraz obliczone b, aby wyznaczyć a.

\[2=6a-2\quad\Rightarrow\quad 6a=4\quad\Rightarrow\quad a=\frac{2}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: a=2/3, b=−2.

\[a=\frac{2}{3},\quad b=-2\]

Sprawdzenie

Dla x=0 otrzymujemy y=−2, a dla x=6 otrzymujemy y=2, więc równanie przechodzi przez oba podane punkty.

\[\frac{2}{3}\cdot 0-2=-2,\qquad \frac{2}{3}\cdot 6-2=2\]

Zadanie 12

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$.

Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale

$Wykres oznaczony $y=f(x)$ w układzie współrzędnych z osiami $x$ i $y$. Odcinki łączą punkty $(-2,6)$, $(1,6)$, $(5,-1)$, $(6,1)$ i $(9,1)$. Punkty końcowe są zaznaczone.$

$\langle-1,1\rangle$

$\langle1,5\rangle$

$\langle5,6\rangle$

$\langle6,8\rangle$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie przedziału wzrostu

Funkcja jest rosnąca tam, gdzie wraz ze wzrostem x rośnie jej wartość. Na wykresie dzieje się tak na odcinku od (5,−1) do (6,1).

\[f(5)=-1<1=f(6),\qquad x\in\langle 5,6\rangle\]

Odpowiedź

Funkcja f jest rosnąca w przedziale ⟨5,6⟩. Odpowiedź C.

\[\boxed{\mathrm{C}:\ \langle 5,6\rangle}\]

Sprawdzenie

Na tym odcinku wykres wznosi się od −1 do 1, więc wartość funkcji rośnie. Pozostałe podane przedziały odpowiadają odcinkom poziomym albo malejącemu.

\[\frac{f(6)-f(5)}{6-5}=\frac{1-(-1)}{1}=2>0\]

Zadanie 30

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa, $f$ dla $x=-3$ przyjmuje wartość największą równą $4$. Do wykresu funkcji $f$ należy punkt $A=(-1,3)$. Zapisz wzór funkcji kwadratowej $f$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Postać kanoniczna

Wartość największa 4 jest osiągana dla x=-3, więc wierzchołek paraboli ma współrzędne (-3,4).

\[f(x)=a(x+3)^2+4,\quad a<0\]

2 Wyznaczenie współczynnika

Podstawiamy współrzędne punktu A=(-1,3), który należy do wykresu.

\[3=a(-1+3)^2+4=4a+4,\quad a=-\frac14\]

Odpowiedź

Wzór funkcji to f(x)=-¼(x+3)²+4.

\[f(x)=-\frac14(x+3)^2+4\]

Sprawdzenie

Współczynnik przy kwadracie jest ujemny, więc funkcja osiąga maksimum 4 dla x=-3. Ponadto dla x=-1 przyjmuje wartość 3.

\[f(-3)=4,\qquad f(-1)=-\frac14\cdot 2^2+4=3\]

Zadanie 10

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{2x-8}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 0$. Wówczas wartość funkcji $f(\sqrt{2})$ jest równa

$2-4\sqrt{2}$

$1-2\sqrt{2}$

$1+2\sqrt{2}$

$2+4\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie argumentu

Ponieważ $\sqrt{2}\neq 0$, możemy obliczyć wartość funkcji z podanego wzoru.

\[f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}-8}{\sqrt{2}}=2-\frac{8}{\sqrt{2}}\]

2 Usunięcie niewymierności z mianownika

Mnożymy licznik i mianownik ułamka przez $\sqrt{2}$, aby porównać wynik z odpowiedziami.

\[2-\frac{8}{\sqrt{2}}=2-\frac{8\sqrt{2}}{2}=2-4\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[f(\sqrt{2})=2-4\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Argument spełnia warunek dziedziny. Po wstawieniu wyniku do wyrażenia z podstawienia otrzymujemy tę samą wartość.

\[\sqrt{2}\neq 0,\qquad \frac{2\sqrt{2}-8}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(2-4\sqrt{2})}{\sqrt{2}}=2-4\sqrt{2}\]

Zadanie 11

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Parabola o wierzchołku $W=(-3,5)$ i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem

$y=2\cdot(x+3)^2+5$

$y=-2\cdot(x-3)^2+5$

$y=-2\cdot(x+3)^2+5$

$y=-2\cdot(x-3)^2-5$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz postać wierzchołkową

W postaci wierzchołkowej $y=a(x-p)^2+q$ wierzchołek ma współrzędne $(p,q)$. Dla $W=(-3,5)$ otrzymujemy:

\[y=a(x+3)^2+5\]

2 Ustal znak współczynnika

Ramiona paraboli są skierowane w dół, gdy $a<0$. Spośród podanych wzorów oba warunki spełnia odpowiedź C.

\[y=-2(x+3)^2+5\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[y=-2(x+3)^2+5\]

Sprawdzenie

Dla $x=-3$ wartość funkcji wynosi $5$, więc wierzchołek ma wskazane współrzędne. Ponieważ $-2<0$, ramiona są skierowane w dół.

\[-2(-3+3)^2+5=5\]

Zadanie 12

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Wykres funkcji liniowej $y=2x-3$ przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych

$(0,-3)$

$(-3,0)$

$(0,2)$

$(0,3)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współrzędnych punktu

Każdy punkt osi $Oy$ ma pierwszą współrzędną równą zeru. Podstawiamy więc $x=0$ do wzoru funkcji.

\[x=0,\qquad y=2\cdot 0-3=-3\]

Odpowiedź

Punkt przecięcia to $(0,-3)$, czyli odpowiedź A.

\[(0,-3)\]

Sprawdzenie

Punkt ma pierwszą współrzędną równą zeru, więc leży na osi $Oy$. Po podstawieniu jej do wzoru funkcji otrzymujemy drugą współrzędną równą $-3$.

\[2\cdot 0-3=-3\]

Zadanie 13

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $y=f(x)$ ma współrzędne $(2,2)$. Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji $g(x)=f(x+2)$ ma współrzędne

$(4,2)$

$(0,2)$

$(2,0)$

$(2,4)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz funkcję w postaci kanonicznej

Współrzędne wierzchołka pozwalają zapisać funkcję kwadratową w postaci kanonicznej, gdzie $a\neq 0$.

\[f(x)=a(x-2)^2+2\]

2 Wyznacz wierzchołek nowej paraboli

Podstawiamy $x+2$ w miejsce argumentu funkcji i odczytujemy wierzchołek z otrzymanej postaci.

\[g(x)=f(x+2)=a((x+2)-2)^2+2=ax^2+2\]

Odpowiedź

Wierzchołek ma współrzędne $(0,2)$. Odpowiedź B.

\[(0,2)\]

Sprawdzenie

Ponieważ $g(0)=f(2)=2$, a wyraz kwadratowy $ax^2$ ma oś symetrii $x=0$, otrzymany punkt jest wierzchołkiem.

\[g(0)=a\cdot 0^2+2=2\]

Zadanie 34

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa $f$ określona jest wzorem $f(x)=ax^2+bx+c$. Zbiorem rozwiązań nierówności $f(x)>0$ jest przedział $(0,12)$. Największa wartość funkcji $f$ jest równa $9$. Oblicz współczynniki $a$, $b$ i $c$ funkcji $f$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Funkcja jest dodatnia dokładnie między 0 a 12, więc w tych punktach ma miejsca zerowe, a jej ramiona są skierowane w dół.

\[f(x)=a x(x-12),\quad a<0\]

2 Obliczenie współczynnika a

Wierzchołek leży w połowie między miejscami zerowymi, czyli dla x=6. Podstawiamy największą wartość funkcji.

\[f(6)=a\cdot6\cdot(6-12)=-36a=9,\quad a=-\frac14\]

3 Odczytanie współczynników

Rozwijamy wzór funkcji i porównujemy go z postacią ax²+bx+c.

\[f(x)=-\frac14x(x-12)=-\frac14x^2+3x\]

Odpowiedź

Współczynniki wynoszą a=−1/4, b=3, c=0.

\[a=-\frac14,\quad b=3,\quad c=0\]

Sprawdzenie

Parabola ma ramiona skierowane w dół i miejsca zerowe 0 oraz 12, więc jest dodatnia dokładnie w przedziale (0,12). W wierzchołku przy x=6 osiąga wartość 9.

\[f(x)=-\frac14x(x-12),\quad f(6)=9\]

Funkcje — zadania maturalne

Filtry zadań

Znajdź zadanie

1 Wyznaczenie postaci kanonicznej

2 Sprawdzenie przedziału

Odpowiedź

Sprawdzenie

1 Wyznaczenie wyrazu wolnego

2 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Odpowiedź

Sprawdzenie

1 Odczytanie przedziału wzrostu

Odpowiedź

Sprawdzenie

1 Postać kanoniczna

2 Wyznaczenie współczynnika

Odpowiedź

Sprawdzenie

1 Podstawienie argumentu

2 Usunięcie niewymierności z mianownika

Odpowiedź

Sprawdzenie

1 Zapisz postać wierzchołkową

2 Ustal znak współczynnika

Odpowiedź

Sprawdzenie

1 Wyznaczenie współrzędnych punktu

Odpowiedź

Sprawdzenie

1 Zapisz funkcję w postaci kanonicznej

2 Wyznacz wierzchołek nowej paraboli

Odpowiedź

Sprawdzenie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

2 Obliczenie współczynnika a

3 Odczytanie współczynników

Odpowiedź

Sprawdzenie