Zbiór zadań maturalnych

Liczby rzeczywiste — zadania maturalne

Liczby rzeczywiste: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

Filtry zadań

Znajdź zadanie

Więcej filtrów
Wyczyść filtry
53 zadańStrona 4 z 4
Zadanie 5
Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Liczby rzeczywiste
49%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Różnica \(0,(3)-\frac{23}{33}\) jest równa

A
\(-0,(39)\)
B
\(-\frac{39}{100}\)
C
\(-0,36\)
D
\(-\frac{4}{11}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zamiana ułamka okresowego

Ponieważ cyfra 3 powtarza się bez końca, zapisujemy liczbę jako ułamek zwykły.

\[0,(3)=\frac{1}{3}=\frac{11}{33}\]

2 Obliczenie różnicy

Ułamki mają ten sam mianownik, więc odejmujemy liczniki i skracamy wynik.

\[\frac{11}{33}-\frac{23}{33}=\frac{-12}{33}=-\frac{4}{11}\]

Odpowiedź

Wynik to −4/11, odpowiedź D.

\[-\frac{4}{11}\]

Sprawdzenie

Po dodaniu odjętego ułamka do wyniku otrzymujemy liczbę początkową: −4/11 + 23/33 = 1/3 = 0,(3).

\[-\frac{4}{11}+\frac{23}{33}=-\frac{12}{33}+\frac{23}{33}=\frac{11}{33}=\frac{1}{3}\]
Zadanie 3
Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Liczby rzeczywiste
49%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Kwotę 1000 zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości 4% w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości 19%. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa

A
\(1000\cdot\left(1-\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100}\right)\)
B
\(1000\cdot\left(1+\frac{19}{100}\cdot\frac{4}{100}\right)\)
C
\(1000\cdot\left(1+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100}\right)\)
D
\(1000\cdot\left(1-\frac{19}{100}\cdot\frac{4}{100}\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie odsetek

Oprocentowanie 4% w skali roku daje po roku odsetki równe 4% wpłaconej kwoty.

\[1000\cdot\frac{4}{100}=40\ \text{zł}\]

2 Odliczenie podatku

Podatek wynosi 19% odsetek, więc do wypłaty pozostaje 81% odsetek oraz cały wpłacony kapitał.

\[1000+40\cdot\frac{81}{100}=1000+32{,}40=1032{,}40\ \text{zł}\]

Odpowiedź

Maksymalna kwota wypłaty to 1032,40 zł. Odpowiedź C.

\[1000\cdot\left(1+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100}\right)=1032{,}40\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Podatek od 40 zł odsetek wynosi 7,60 zł. Po jego odjęciu od kapitału z odsetkami otrzymujemy tę samą kwotę.

\[40\cdot\frac{19}{100}=7{,}60\ \text{zł},\qquad 1000+40-7{,}60=1032{,}40\ \text{zł}\]
Zadanie 3
Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Liczby rzeczywiste
43%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) liczba \((2n+1)^2-1\) jest podzielna przez \(8\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż wyrażenie na czynniki

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów, aby otrzymać iloczyn kolejnych liczb naturalnych.

\[(2n+1)^2-1=(2n+1-1)(2n+1+1)=4n(n+1)\]

2 Wykaż podzielność przez 8

Spośród dwóch kolejnych liczb \(n\) i \(n+1\) jedna jest parzysta, więc ich iloczyn jest podzielny przez \(2\). Po pomnożeniu przez \(4\) otrzymujemy wielokrotność \(8\).

\[n(n+1)=2k\quad\text{dla pewnego }k\in\mathbb{N},\qquad 4n(n+1)=8k\]

Odpowiedź

Dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) podana liczba jest podzielna przez \(8\).

\[8\mid\bigl((2n+1)^2-1\bigr)\]

Sprawdzenie

Dla najmniejszej dopuszczalnej wartości \(n=1\) otrzymujemy \(8\), zgodnie z wykazaną podzielnością.

\[(2\cdot1+1)^2-1=9-1=8\]
Zadanie 2
Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Liczby rzeczywiste
43%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}\) jest równa

A
\(\sqrt[3]{52}\)
B
\(3\)
C
\(2\sqrt[3]{2}\)
D
\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz czynnik przed pierwiastek

Liczba 54 jest iloczynem sześcianu liczby 3 i liczby 2, więc można wyłączyć 3 przed pierwiastek.

\[\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot2}=3\sqrt[3]{2}\]

2 Odejmij podobne wyrażenia

Oba składniki zawierają ten sam pierwiastek, więc odejmujemy ich współczynniki.

\[3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[2\sqrt[3]{2}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymanej postaci za pierwszy składnik różnica wynosi dokładnie podany wynik.

\[\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}\]
Zadanie 27
Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Liczby rzeczywiste
36%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykaż, że liczba \(4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}\) jest podzielna przez 17.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Każdy składnik jest wielokrotnością \(4^{2017}\), więc wyłączamy tę potęgę przed nawias.

\[4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}=4^{2017}(1+4+4^2+4^3)\]

2 Oblicz sumę w nawiasie

Suma w nawiasie wynosi \(85=17\cdot5\), zatem cała liczba ma czynnik \(17\).

\[4^{2017}(1+4+16+64)=4^{2017}\cdot85=17\cdot(5\cdot4^{2017})\]

Odpowiedź

Podana liczba jest podzielna przez 17.

\[17\mid\left(4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}\right)\]

Sprawdzenie

Iloraz przez 17 wynosi \(5\cdot4^{2017}\), czyli jest liczbą całkowitą.

\[\frac{4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}}{17}=5\cdot4^{2017}\in\mathbb{Z}\]
Zadanie 31
Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Liczby rzeczywiste
34%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem \(R=\log\frac{A}{A_0}\), gdzie \(A\) oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, \(A_0=10^{-4}\,\mathrm{cm}\) jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od 100 cm.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie amplitudy

Logarytm dziesiętny jest równy 6,2, więc jego argument wynosi \(10^{6,2}\). Mnożymy przez amplitudę wzorcową, aby obliczyć \(A\).

\[\frac{A}{A_0}=10^{6,2},\qquad A=10^{6,2}\cdot10^{-4}\,\mathrm{cm}=10^{2,2}\,\mathrm{cm}\]

2 Porównanie ze 100 cm

Ponieważ \(10^{0,2}>1\), otrzymana amplituda jest większa od 100 cm.

\[A=10^2\cdot10^{0,2}\,\mathrm{cm}>100\,\mathrm{cm}\]

Odpowiedź

Amplituda wynosi \(10^{2,2}\,\mathrm{cm}\) i jest większa od 100 cm.

\[A=10^{2,2}\,\mathrm{cm}>100\,\mathrm{cm}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymanej amplitudy do podanego wzoru uzyskujemy siłę 6,2; amplituda jest dodatnia i ma jednostkę centymetrów.

\[\log\frac{10^{2,2}\,\mathrm{cm}}{10^{-4}\,\mathrm{cm}}=\log 10^{6,2}=6,2\]
Zadanie 2
Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Liczby rzeczywiste
33%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba naturalna \(n=2^{14}\cdot 5^{15}\) w zapisie dziesiętnym ma

A
14 cyfr
B
15 cyfr
C
16 cyfr
D
30 cyfr

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz potęgi

Iloczyn 2 i 5 jest równy 10, więc łączymy czternaście takich par.

\[2^{14}\cdot5^{15}=(2\cdot5)^{14}\cdot5=5\cdot10^{14}\]

2 Policz cyfry

Liczba 5 pomnożona przez \(10^{14}\) to cyfra 5 i czternaście zer, czyli łącznie 15 cyfr.

\[5\cdot10^{14}=500000000000000\]

Odpowiedź

B — 15 cyfr.

\[15\]

Sprawdzenie

Otrzymana liczba jest co najmniej równa \(10^{14}\) i mniejsza od \(10^{15}\), więc ma dokładnie 15 cyfr.

\[10^{14}\leq 5\cdot10^{14}<10^{15}\]
Zadanie 5
Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Liczby rzeczywiste
32%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) liczba \(3n^2+2n+7\) jest podzielna przez \(4\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapis liczby nieparzystej

Każdą nieparzystą liczbę naturalną można zapisać w tej postaci dla pewnej liczby całkowitej nieujemnej \(k\).

\[n=2k+1\]

2 Wyłączenie czynnika 4

Podstawiamy tę postać do wyrażenia i wyłączamy wspólny czynnik.

\[3n^2+2n+7=3(2k+1)^2+2(2k+1)+7=12k^2+16k+12=4(3k^2+4k+3)\]

Odpowiedź

Dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) wyrażenie \(3n^2+2n+7\) jest podzielne przez \(4\), ponieważ \(3k^2+4k+3\) jest liczbą całkowitą.

\[4\mid(3n^2+2n+7)\]

Sprawdzenie

Niezależnie, dla nieparzystego \(n\) mamy \(n^2\equiv1\pmod 4\) oraz \(2n\equiv2\pmod 4\). Suma reszt wynosi \(3+2+3=8\), czyli jest podzielna przez \(4\).

\[3n^2+2n+7\equiv3\cdot1+2+3\equiv0\pmod 4\]

2026 Utworzone przez zespół MaturaPodKlucz