Zbiór zadań maturalnych

Ciągi — zadania maturalne

Ciągi: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

Filtry zadań

Znajdź zadanie

Więcej filtrów
Wyczyść filtry
98 zadańStrona 7 z 7
Zadanie 8
Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy \((-216)\). Iloraz tego ciągu jest równy

A
\(-\frac{224}{3}\)
B
\(-3\)
C
\(-9\)
D
\(-27\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wzoru na czwarty wyraz

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez iloraz \(q\), więc \(a_4=a_1q^3\).

\[-216=8q^3\]

2 Obliczenie ilorazu

Dzielimy obie strony równania przez 8, a następnie wyznaczamy liczbę, której sześcian wynosi \(-27\).

\[q^3=\frac{-216}{8}=-27\quad\Rightarrow\quad q=-3\]

Odpowiedź

Iloraz ciągu wynosi \(-3\). Odpowiedź B.

\[q=-3\]

Sprawdzenie

Dla \(q=-3\) czwarty wyraz jest równy \(-216\), zgodnie z treścią zadania.

\[a_4=8\cdot(-3)^3=8\cdot(-27)=-216\]
Zadanie 11
Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi

Dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(n\) suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\) jest określona wzorem \(S_n=2n^2+n\). Wtedy wyraz \(a_2\) jest równy

A
\(3\)
B
\(6\)
C
\(7\)
D
\(10\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sum

Aby wyznaczyć drugi wyraz, obliczamy sumę dwóch początkowych wyrazów oraz pierwszy wyraz.

\[S_1=2\cdot1^2+1=3,\qquad S_2=2\cdot2^2+2=10\]

2 Wyznaczenie drugiego wyrazu

Ponieważ \(S_2=a_1+a_2\), a \(S_1=a_1\), odejmujemy te sumy.

\[a_2=S_2-S_1=10-3=7\]

Odpowiedź

Wyraz \(a_2\) jest równy 7. Odpowiedź C.

\[a_2=7\]

Sprawdzenie

Pierwszy wyraz wynosi 3, więc suma dwóch pierwszych wyrazów to 3+7=10, zgodnie ze wzorem dla \(S_2\).

\[a_1+a_2=3+7=10=S_2\]
Zadanie 31
Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte4 pkt
Ciągi

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony jest wzorem \(a_n=2016-3n\), dla \(n\geq 1\). Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dodatnich wyrazów

Rozwiązujemy nierówność, aby ustalić, które wyrazy wchodzą do sumy.

\[2016-3n>0\iff n<672,\quad n=1,2,\ldots,671\]

2 Obliczenie sumy

Dodajemy pierwsze 671 wyrazów ciągu arytmetycznego, korzystając ze wzoru na ich sumę.

\[a_1=2013,\quad a_{671}=3,\quad S_{671}=\frac{671(2013+3)}{2}=676368\]

Odpowiedź

Suma wszystkich dodatnich wyrazów wynosi 676368.

\[676368\]

Sprawdzenie

Ostatni uwzględniony wyraz jest dodatni, a następny wynosi zero, więc suma obejmuje dokładnie wszystkie dodatnie wyrazy.

\[a_{671}=2016-3\cdot671=3>0,\quad a_{672}=2016-3\cdot672=0\]
Zadanie 13
Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi

Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2^n\) dla \(n\geq 1\). Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

A
\(2(1-2^{10})\)
B
\(-2(1-2^{10})\)
C
\(2(1+2^{10})\)
D
\(-2(1+2^{10})\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie pierwszego wyrazu i ilorazu

Korzystamy ze wzoru ciągu, aby zastosować wzór na sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

\[a_1=2^1=2,\qquad q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{4}{2}=2\]

2 Obliczenie sumy

Ponieważ iloraz jest różny od 1, stosujemy wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego i upraszczamy wynik.

\[S_{10}=a_1\frac{1-q^{10}}{1-q}=2\frac{1-2^{10}}{1-2}=-2(1-2^{10})=2046\]

Odpowiedź

B. Suma wynosi 2046.

\[S_{10}=-2(1-2^{10})=2046\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu odpowiedzi B otrzymujemy 2¹¹−2=2046, czyli sumę potęg od 2¹ do 2¹⁰.

\[-2(1-2^{10})=2^{11}-2=2046\]
Zadanie 14
Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi

Suma pierwszego i szóstego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego jest równa 13. Wynika stąd, że suma trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równa

A
\(13\)
B
\(12\)
C
\(7\)
D
\(6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wyrazów ciągu

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz zwiększa się o tę samą różnicę r.

\[a_6=a_1+5r,\qquad a_3=a_1+2r,\qquad a_4=a_1+3r\]

2 Porównanie sum

Obie sumy mają takie samo wyrażenie algebraiczne, więc są równe.

\[a_1+a_6=2a_1+5r=13,\qquad a_3+a_4=2a_1+5r=13\]

Odpowiedź

Suma wynosi 13. Odpowiedź A.

\[a_3+a_4=13\]

Sprawdzenie

Od pierwszego do trzeciego wyrazu przybywa 2r, a od czwartego do szóstego także 2r. Zatem przesunięcie pierwszego wyrazu do trzeciego dokładnie równoważy przesunięcie szóstego do czwartego.

\[a_3-a_1=2r=a_6-a_4\quad\Longrightarrow\quad a_3+a_4=a_1+a_6=13\]
Zadanie 32
Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte4 pkt
Ciągi

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\), dla \(n\geq 1\) taki, że \(a_5=18\). Wyrazy \(a_1\), \(a_3\) oraz \(a_{13}\) tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu \((a_n)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wyrazów przez różnicę

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz jest większy o stałą różnicę \(r>0\). Korzystając z \(a_5=18\), zapisujemy wyrazy występujące w warunku zadania.

\[a_1=18-4r,\quad a_3=18-2r,\quad a_{13}=18+8r\]

2 Wykorzystanie warunku ciągu geometrycznego

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego kwadrat środkowego jest iloczynem skrajnych. Po podstawieniu otrzymujemy równanie dla \(r\).

\[(18-2r)^2=(18-4r)(18+8r)\quad\Longrightarrow\quad 36r(r-4)=0\]

3 Wyznaczenie wzoru ciągu

Ciąg jest rosnący, więc \(r>0\); stąd \(r=4\). Obliczamy pierwszy wyraz i stosujemy wzór ciągu arytmetycznego.

\[a_1=18-4\cdot4=2,\qquad a_n=a_1+(n-1)r=2+4(n-1)=4n-2\]

Odpowiedź

Wzór na n-ty wyraz ciągu to \(a_n=4n-2\) dla \(n\geq1\).

\[a_n=4n-2\quad(n\geq1)\]

Sprawdzenie

Ze wzoru otrzymujemy \(a_5=18\), a wyrazy \(a_1=2\), \(a_3=10\), \(a_{13}=50\) tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 5. Różnica ciągu arytmetycznego wynosi 4, więc ciąg jest rosnący.

\[a_5=4\cdot5-2=18,\qquad \frac{a_3}{a_1}=\frac{10}{2}=5=\frac{50}{10}=\frac{a_{13}}{a_3},\qquad a_{n+1}-a_n=4>0\]
Zadanie 14
Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi

Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez 7 tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba

A
\(77\)
B
\(84\)
C
\(91\)
D
\(98\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie początku ciągu

Najmniejszą dwucyfrową liczbą podzielną przez 7 jest 14. Kolejne wyrazy różnią się o 7.

\[a_1=14,\quad r=7\]

2 Obliczenie dwunastego wyrazu

Korzystamy ze wzoru na wyraz ciągu arytmetycznego.

\[a_{12}=a_1+11r=14+11\cdot7=91\]

Odpowiedź

Dwunastym wyrazem jest 91 — odpowiedź C.

\[a_{12}=91\]

Sprawdzenie

Liczba 91 jest dwucyfrowa i podzielna przez 7. Od 14 do 91 włącznie jest 12 wielokrotności liczby 7.

\[91=13\cdot7,\quad 13-2+1=12\]
Zadanie 15
Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi

Ciąg liczbowy określony jest wzorem \(a_n=\frac{2^n-1}{2^n+1}\), dla \(n\geq 1\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy

A
\(-1\)
B
\(\frac{31}{33}\)
C
\(\frac{9}{11}\)
D
\(1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie numeru wyrazu

Piąty wyraz obliczamy, podstawiając \(n=5\) do wzoru ciągu.

\[a_5=\frac{2^5-1}{2^5+1}\]

2 Obliczenie wartości

Ponieważ \(2^5=32\), obliczamy licznik i mianownik.

\[a_5=\frac{32-1}{32+1}=\frac{31}{33}\]

Odpowiedź

Piąty wyraz wynosi \(\frac{31}{33}\). Odpowiedź B.

\[a_5=\frac{31}{33}\]

Sprawdzenie

Dla \(n=5\) mianownik wynosi \(33\), więc jest różny od zera. Licznik \(31\) jest od niego o \(2\) mniejszy, zgodnie ze wzorem.

\[(2^5+1)-(2^5-1)=33-31=2\]

2026 Utworzone przez zespół MaturaPodKlucz