Zbiór zadań maturalnych

Ciągi — zadania maturalne

Ciągi: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

Filtry zadań

Znajdź zadanie

Więcej filtrów
Wyczyść filtry
38 zadańStrona 3 z 3
Zadanie 15
Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy
Otwarte3 pkt
Ciągi
49%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wyznacz wartość \(m\), dla której trzywyrazowy ciąg \((2m+11,\ m^2+3,\ 5-m)\) jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek arytmetyczności

W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią skrajnych. Podstawiamy podane wyrazy i rozwiązujemy równanie.

\[2(m^2+3)=(2m+11)+(5-m)\iff 2m^2-m-10=0\iff (2m-5)(m+2)=0\iff m=\frac52\ \text{lub}\ m=-2\]

2 Warunek malejącego ciągu

Sprawdzamy oba rozwiązania, ponieważ ciąg stały jest arytmetyczny, ale nie jest malejący.

\[m=-2:\ (7,7,7);\qquad m=\frac52:\ \left(16,\frac{37}{4},\frac52\right),\quad 16>\frac{37}{4}>\frac52\]

Odpowiedź

Szukana wartość to m = 5/2.

\[m=\frac52\]

Sprawdzenie

Dla m = 5/2 kolejne różnice są równe i ujemne: obie wynoszą −27/4. Ciąg jest więc arytmetyczny i malejący.

\[\frac{37}{4}-16=\frac52-\frac{37}{4}=-\frac{27}{4}<0\]
Zadanie 17
Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Ciągi
48%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł.

Oblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie sumy rat

Raty tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy −30 zł. Korzystamy ze wzoru na sumę 18 początkowych wyrazów.

\[8910=\frac{18}{2}\bigl(2a_1+17\cdot(-30)\bigr)=9(2a_1-510)\]

2 Obliczenie pierwszej raty

Rozwiązujemy otrzymane równanie względem kwoty pierwszej raty.

\[2a_1-510=990,\quad 2a_1=1500,\quad a_1=750\ \text{zł}\]

Odpowiedź

Pierwsza rata wynosiła 750 zł.

\[a_1=750\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Ostatnia rata wynosiła 240 zł. Średnia pierwszej i ostatniej raty to 495 zł, więc suma 18 rat wynosi 8910 zł. Wszystkie raty są dodatnie.

\[a_{18}=750-17\cdot30=240\ \text{zł},\qquad 18\cdot\frac{750+240}{2}=8910\ \text{zł}\]
Zadanie 14.2
Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi
47%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg \((a_n)\) jest określony następująco: \[\begin{cases}a_1=2\\a_{n+1}=2a_n+1\end{cases}\quad\text{dla każdej liczby naturalnej }n\geq 1.\]

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.PF
Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny.PF
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie początkowych wyrazów

Do oceny obu stwierdzeń wystarczą trzy pierwsze wyrazy ciągu. Korzystamy z podanego wzoru rekurencyjnego.

\[a_1=2,\quad a_2=2\cdot2+1=5,\quad a_3=2\cdot5+1=11\]

2 Sprawdzenie arytmetyczności

W ciągu arytmetycznym różnice kolejnych wyrazów są równe. Tutaj otrzymujemy różne różnice.

\[a_2-a_1=5-2=3,\qquad a_3-a_2=11-5=6,\qquad 3\ne6\]

3 Sprawdzenie geometryczności

W ciągu geometrycznym ilorazy kolejnych wyrazów są równe. Wyznaczone wyrazy są niezerowe, więc możemy obliczyć ilorazy.

\[\frac{a_2}{a_1}=\frac52,\qquad \frac{a_3}{a_2}=\frac{11}{5},\qquad \frac52\ne\frac{11}{5}\]

Odpowiedź

Ciąg arytmetyczny — F. Ciąg geometryczny — F.

\[\text{arytmetyczny: F, geometryczny: F}\]

Sprawdzenie

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego środkowy jest średnią sąsiednich, a dla geometrycznego jego kwadrat jest iloczynem sąsiednich. Żaden z tych warunków nie zachodzi.

\[2a_2=10\ne13=a_1+a_3,\qquad a_2^2=25\ne22=a_1a_3\]
Zadanie 15
Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi
43%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), są dodatnie i \(9a_5=4a_3\). Wtedy iloraz tego ciągu jest równy

A
\(\frac{2}{3}\)
B
\(\frac{3}{2}\)
C
\(\frac{2}{9}\)
D
\(\frac{9}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kwadratu ilorazu

W ciągu geometrycznym \(a_5=a_3q^2\). Ponieważ \(a_3>0\), możemy podzielić równanie przez \(a_3\).

\[9a_3q^2=4a_3\quad\Longrightarrow\quad q^2=\frac{4}{9}\]

2 Wybór ilorazu

Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest dodatni. Wybieramy dodatni pierwiastek.

\[q=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\]

Odpowiedź

Iloraz ciągu wynosi \(\frac{2}{3}\). Odpowiedź A.

\[q=\frac{2}{3}\]

Sprawdzenie

Dla \(q=\frac{2}{3}\) zachodzi \(a_5=\frac{4}{9}a_3\), więc podany warunek jest spełniony. Iloraz jest dodatni.

\[9a_5=9\cdot\frac{4}{9}a_3=4a_3\]
Zadanie 17
Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Ciągi
40%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\). Trzeci wyraz tego ciągu jest równy \((-1)\), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa \((-165)\).

Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie warunków

W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz to pierwszy wyraz powiększony o dwie różnice. Suma piętnastu wyrazów wynosi piętnaście razy wyraz środkowy, czyli ósmy.

\[a_1+2r=-1,\qquad 15(a_1+7r)=-165\]

2 Obliczenie różnicy

Dzielimy równanie sumy przez 15, a następnie odejmujemy od niego równanie dla trzeciego wyrazu, aby usunąć \(a_1\).

\[a_1+7r=-11,\qquad 5r=-11-(-1)=-10,\qquad r=-2\]

Odpowiedź

Różnica ciągu wynosi \(-2\).

\[r=-2\]

Sprawdzenie

Z równania dla trzeciego wyrazu otrzymujemy \(a_1=3\). Wtedy trzeci wyraz wynosi \(-1\), a suma piętnastu wyrazów wynosi \(-165\).

\[a_3=3+2(-2)=-1,\qquad S_{15}=15\bigl(3+7(-2)\bigr)=-165\]
Zadanie 33
Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte4 pkt
Ciągi
32%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(6a_1-5a_2+a_3=0\). Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu należący do przedziału \(\langle 2\sqrt{2},3\sqrt{2}\rangle\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wyrazów przez iloraz

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez q. Ponieważ wszystkie wyrazy są dodatnie, a₁>0.

\[a_2=a_1q,\qquad a_3=a_1q^2\]

2 Wyznaczenie możliwych ilorazów

Podstawiamy te wyrazy do warunku i dzielimy przez niezerowe a₁.

\[6a_1-5a_1q+a_1q^2=0\quad\Longrightarrow\quad q^2-5q+6=(q-2)(q-3)=0\quad\Longrightarrow\quad q=2\ \text{lub}\ q=3\]

3 Wybór ilorazu z przedziału

Liczba 2 jest mniejsza od lewego końca przedziału. Liczba 3 należy do przedziału, gdyż 2√2<3<3√2.

\[2<2\sqrt{2},\qquad 2\sqrt{2}<3<3\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Iloraz ciągu wynosi 3.

\[q=3\]

Sprawdzenie

Dla q=3 warunek zadania daje zero, a q należy do wskazanego przedziału. Ponieważ a₁>0 i q>0, wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie.

\[6a_1-5(3a_1)+9a_1=0\]
Zadanie 34
Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte5 pkt
Ciągi
31%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy \(a_1\), \(a_3\), \(a_k\) ciągu \((a_n)\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_n)\). Oblicz \(k\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie pierwszego wyrazu i różnicy

Suma jedenastu wyrazów ciągu arytmetycznego daje pierwsze równanie. Drugie wynika z podanej średniej. Rozwiązujemy układ, aby poznać wzór ciągu.

\[\begin{aligned}S_{11}&=11(a_1+5d)=187&&\Rightarrow a_1+5d=17,\\\frac{a_1+(a_1+2d)+(a_1+8d)}{3}&=12&&\Rightarrow 3a_1+10d=36.\end{aligned}\]

2 Rozwiązanie układu

Podstawiamy \(a_1=17-5d\) do drugiego równania.

\[3(17-5d)+10d=36\Rightarrow d=3,\qquad a_1=2.\]

3 Wyznaczenie indeksu

W trzech kolejnych wyrazach ciągu geometrycznego kwadrat środkowego jest iloczynem skrajnych. Ponieważ \(a_3=8\), wyznaczamy \(a_k\), a następnie \(k\).

\[a_3=2+2\cdot3=8,\qquad a_k=2+(k-1)\cdot3=3k-1,\qquad 8^2=2(3k-1)\Rightarrow k=11.\]

Odpowiedź

k = 11.

\[k=11\]

Sprawdzenie

Dla k = 11 otrzymujemy wyrazy 2, 8, 32, które tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 4. Ponadto suma jedenastu początkowych wyrazów wynosi 187, a wskazana średnia wynosi 12.

\[\frac{8}{2}=\frac{32}{8}=4,\qquad S_{11}=11(2+5\cdot3)=187,\qquad \frac{2+8+26}{3}=12.\]
Zadanie 31
Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Ciągi
28%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł.

Oblicz kwotę pierwszej raty.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie sumy rat

Raty tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy −30 zł. Osiemnasta rata jest o 17 razy 30 zł mniejsza od pierwszej.

\[a_{18}=a_1-17\cdot30=a_1-510\]

2 Obliczenie pierwszej raty

Suma 18 rat to dziewięciokrotność sumy raty pierwszej i ostatniej. Przyrównujemy ją do kwoty pożyczki.

\[9(a_1+a_{18})=8910\quad\Rightarrow\quad9(2a_1-510)=8910\quad\Rightarrow\quad a_1=750\]

Odpowiedź

Pierwsza rata wynosiła 750 zł.

\[a_1=750\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Ostatnia rata wynosiła 240 zł i jest dodatnia. Suma rat wynosi 9 · (750 zł + 240 zł) = 8910 zł.

\[a_{18}=750-17\cdot30=240\ \text{zł},\qquad S_{18}=9(750+240)=8910\ \text{zł}\]

2026 Utworzone przez zespół MaturaPodKlucz