Zbiór zadań maturalnych

Optymalizacja i rachunek różniczkowy — zadania maturalne

Optymalizacja i rachunek różniczkowy: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

Filtry zadań

Znajdź zadanie

Więcej filtrów
Wyczyść filtry
6 zadańStrona 1 z 1
Zadanie 32
Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy
Otwarte3 pkt
Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Dany jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości \(4\). Rozważamy wszystkie trójkąty \(DEF\) spełniające jednocześnie następujące warunki:

  • punkt \(E\) leży na boku \(AB\) kwadratu \(ABCD\)
  • punkt \(F\) leży na boku \(BC\) kwadratu \(ABCD\)
  • \(|CF|=\frac{1}{2}\cdot|EB|=x\), gdzie \(x\in(0,2)\) (zobacz rysunek).

Niech \(P(x)\) oznacza pole trójkąta \(DEF\) w zależności od długości \(x\) odcinka \(CF\).

Wyznacz wzór funkcji \(P\) zmiennej \(x\), gdzie \(x\in(0,2)\). Oblicz długość \(x\) odcinka \(CF\), dla której pole trójkąta \(DEF\) jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.

Kwadrat ABCD o boku 4. Punkt E leży na boku AB, punkt F na boku BC. Odcinek EB oznaczono jako 2x, a CF jako x. Wewnątrz kwadratu zaznaczono trójkąt DEF.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długości odcinków

Od boku kwadratu odejmujemy długości podanych odcinków.

\[|AE|=4-2x,\qquad |BF|=4-x\]

2 Pole trójkąta

Od pola kwadratu odejmujemy pola trzech trójkątów prostokątnych leżących poza trójkątem DEF.

\[\begin{aligned}P(x)&=16-\frac{4(4-2x)}{2}-\frac{4x}{2}-\frac{2x(4-x)}{2}\\&=x^2-2x+8,\qquad x\in(0,2).\end{aligned}\]

3 Najmniejsze pole

Po uzupełnieniu kwadratu wyrażenie jest najmniejsze, gdy jego nieujemny składnik jest równy zeru.

\[P(x)=(x-1)^2+7\geq 7;\qquad x=1\in(0,2).\]

Odpowiedź

Wzór funkcji to P(x)=x²−2x+8 dla x∈(0,2). Pole trójkąta DEF jest najmniejsze, gdy odcinek CF ma długość 1; wynosi wtedy 7.

\[P(x)=x^2-2x+8,\quad x\in(0,2);\qquad |CF|=1,\quad P_{\min}=7\]

Sprawdzenie

Dla x=1 odcinki EB i CF mają długości odpowiednio 2 i 1, zgodnie z warunkiem. Pola trzech odjętych trójkątów wynoszą 4, 2 i 3, więc pole DEF wynosi 16−4−2−3=7.

\[\frac{4\cdot2}{2}=4,\quad\frac{4\cdot1}{2}=2,\quad\frac{2\cdot3}{2}=3;\qquad 16-4-2-3=7\]
Zadanie 31
Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk \(Z\) ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem

\[Z(x)=(500+50x)(16-x)\]

gdzie:
\(x\) – kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki \(x\geq 1\) i \(x\leq 14\),
\(Z\) – roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Roczny zysk \(Z\) ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla \(x\) równego

A
\(3\)
B
\(4\)
C
\(7\)
D
\(14\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekształcenie wzoru

Rozwijamy iloczyn i zapisujemy funkcję w postaci kanonicznej, aby wyznaczyć jej największą wartość.

\[Z(x)=(500+50x)(16-x)=-50x^2+300x+8000=-50(x-3)^2+8450\]

2 Wyznaczenie maksimum

Kwadrat jest nieujemny, więc zysk jest największy, gdy \(x-3=0\). Liczba 3 jest pełną liczbą złotych i spełnia warunek \(1\leq x\leq14\).

\[(x-3)^2\geq0\quad\Longrightarrow\quad Z(x)\leq8450,\qquad Z(3)=8450\]

Odpowiedź

Największy roczny zysk jest dla obniżki o 3 zł. Odpowiedź A.

\[x=3,\qquad Z_{\max}=8450\ \mathrm{zł}\]

Sprawdzenie

Dla każdego dopuszczalnego x różnica między zyskiem przy obniżce o 3 zł a zyskiem przy obniżce o x zł jest nieujemna; wynosi zero tylko dla x równego 3.

\[Z(3)-Z(x)=50(x-3)^2\geq0\]
Zadanie 32.1
Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte
Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Właściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że dzienny przychód \(P\) ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny zestawu o \(x\) zł, wyraża się wzorem

\[P(x)=(70-x)(20+x)\]

gdzie \(x\) jest liczbą całkowitą spełniającą warunki \(x\geq 0\) i \(x\leq 60\).

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E.

Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie największy, gdy liczba \(x\) jest równa

A
\(25\)
B
\(30\)
C
\(45\)
D
\(50\)
E
\(60\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uzupełnienie kwadratu

Przekształcamy wzór, aby ustalić, kiedy przychód osiąga największą wartość.

\[P(x)=(70-x)(20+x)=1400+50x-x^2=2025-(x-25)^2\]

2 Wyznaczenie maksimum

Kwadrat jest nieujemny, więc przychód jest największy, gdy kwadrat jest równy zeru. Wartość 25 jest całkowita i należy do przedziału od 0 do 60.

\[(x-25)^2=0\iff x=25\]

Odpowiedź

Liczba x jest równa 25, czyli obniżka wynosi 25 zł. Odpowiedź A.

\[x=25,\quad P_{\max}=2025\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Dla x=25 przychód wynosi 2025 zł. Każda inna dopuszczalna wartość x daje dodatni kwadrat, więc przychód jest mniejszy.

\[P(25)=(70-25)(20+25)=2025,\qquad x\ne25\implies P(x)=2025-(x-25)^2<2025\]
Zadanie 33
Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy
Otwarte4 pkt
Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Działka ma kształt trapezu. Podstawy \(AB\) i \(CD\) tego trapezu mają długości \(|AB|=400\,\mathrm{m}\) oraz \(|CD|=100\,\mathrm{m}\). Wysokość trapezu jest równa \(75\,\mathrm{m}\), a jego kąty \(DAB\) i \(ABC\) są ostre.

Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie \(AB\) tego trapezu, a dwa pozostałe – \(E\) oraz \(F\) – na ramionach \(AD\) i \(BC\) trapezu (zobacz rysunek).

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię. Zapisz obliczenia.

Wskazówka:
Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu \(ABCD\) jest sumą pól trapezów \(ABFE\) oraz \(EFCD\):

\[P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\]

Trapez ABCD o podstawach AB = 400 m i CD = 100 m oraz wysokości 75 m. Wewnątrz zaznaczono prostokątny plac przeznaczony na parking; jego górne wierzchołki E i F leżą na ramionach trapezu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zależność między bokami

Niech x oznacza wysokość prostokąta w metrach, a y jego szerokość w metrach. Dla prostokąta mamy 0<x≤75. Pole całej działki jest sumą pól dwóch trapezów, więc możemy wyznaczyć y bez dzielenia przez x.

\[\frac{400+100}{2}\cdot75=\frac{400+y}{2}\cdot x+\frac{y+100}{2}\cdot(75-x)\quad\Longrightarrow\quad y=400-4x\]

2 Największe pole

Pole prostokąta jest iloczynem jego boków. Po uzupełnieniu kwadratu widać, że największe pole otrzymujemy dla x=50.

\[P(x)=x(400-4x)=10000-4(x-50)^2\leq10000\]

3 Wymiary prostokąta

Dla x=50 obliczamy szerokość. Ta wysokość należy do dopuszczalnego zakresu.

\[x=50\,\mathrm{m},\qquad y=400-4\cdot50=200\,\mathrm{m}\]

Odpowiedź

Boki prostokąta mają długości 50 m i 200 m. Największe pole wynosi 10 000 m².

\[50\,\mathrm{m}\times200\,\mathrm{m},\qquad P_{\max}=10000\,\mathrm{m}^2\]

Sprawdzenie

Wysokość 50 m mieści się w zakresie od 0 do 75 m, a szerokość 200 m jest dodatnia. Iloczyn boków wynosi 10 000 m². Dla każdej innej dopuszczalnej wysokości od tej wartości odejmujemy dodatnią liczbę.

\[0<50\leq75,\qquad 50\cdot200=10000,\qquad P(x)=10000-4(x-50)^2<10000\ \text{dla }x\ne50\]
Zadanie 33
Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy
Otwarte4 pkt
Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po 196 złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:

  • przychód \(P\) (w złotych) ze sprzedaży \(x\) krzeseł można opisać funkcją \(P(x)=196x\)
  • koszt \(K\) (w złotych) produkcji \(x\) krzeseł dziennie można opisać funkcją \(K(x)=4x^2+4x+240\)

Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 30 krzeseł.

Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie zysku

Zysk jest różnicą przychodu i kosztu produkcji.

\[Z(x)=P(x)-K(x)=196x-(4x^2+4x+240)=-4x^2+192x-240\]

2 Znalezienie maksimum

Po zapisaniu funkcji w postaci kanonicznej widać, że kwadrat jest najmniejszy dla x=24. Ponieważ jego współczynnik jest ujemny, wtedy zysk jest największy. Liczba 24 spełnia warunek produkcji od 0 do 30 krzeseł.

\[Z(x)=-4(x-24)^2+2064\leq 2064\quad\text{dla }x\in\{0,1,\ldots,30\}\]

Odpowiedź

Zakład powinien dziennie sprzedawać 24 krzesła. Największy zysk wynosi 2064 zł.

\[x=24,\qquad Z_{\max}=2064\ \mathrm{zł}\]

Sprawdzenie

Przy sprzedaży 24 krzeseł przychód wynosi 4704 zł, a koszt 2640 zł. Ich różnica to 2064 zł; 24 krzesła mieszczą się w dziennym limicie 30.

\[P(24)=196\cdot24=4704,\quad K(24)=4\cdot24^2+4\cdot24+240=2640,\quad 4704-2640=2064\]
Zadanie 33
Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte4 pkt
Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Liczby rzeczywiste \(x\) i \(z\) spełniają warunek \(2x+z=1\). Wyznacz takie wartości \(x\) i \(z\), dla których wyrażenie \(x^2+z^2+7xz\) przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie jednej zmiennej

Z warunku zadania wyrażamy \(z\) przez \(x\), aby otrzymać funkcję jednej zmiennej.

\[z=1-2x\]

2 Obliczenie maksimum

Po podstawieniu i uzupełnieniu kwadratu widzimy, że odejmowany kwadrat jest najmniejszy, gdy wynosi zero.

\[x^2+(1-2x)^2+7x(1-2x)=1+3x-9x^2=\frac54-9\left(x-\frac16\right)^2\leq\frac54\]

3 Wyznaczenie wartości zmiennych

Równość zachodzi dla \(x=\frac16\). Obliczamy wtedy \(z\) z podanego warunku.

\[x=\frac16,\qquad z=1-2\cdot\frac16=\frac23\]

Odpowiedź

Największa wartość wyrażenia to \(\frac54\); jest osiągana dla \(x=\frac16\) i \(z=\frac23\).

\[x=\frac16,\quad z=\frac23,\quad \max(x^2+z^2+7xz)=\frac54\]

Sprawdzenie

Otrzymane liczby spełniają warunek, a podstawienie ich do wyrażenia daje \(\frac54\). Dla każdej innej dopuszczalnej wartości \(x\) odejmowany kwadrat jest dodatni, więc wynik jest mniejszy.

\[2\cdot\frac16+\frac23=1,\qquad \left(\frac16\right)^2+\left(\frac23\right)^2+7\cdot\frac16\cdot\frac23=\frac54\]

2026 Utworzone przez zespół MaturaPodKlucz