Zbiór zadań maturalnych

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka — zadania maturalne

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

Filtry zadań

Znajdź zadanie

Więcej filtrów
Wyczyść filtry
35 zadańStrona 3 z 3
Zadanie 25
Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
47%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga – niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy

A
\(p=\frac{1}{4}\)
B
\(p=\frac{3}{8}\)
C
\(p=\frac{1}{2}\)
D
\(p=\frac{2}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policzenie wszystkich wyników

Z każdego pojemnika można wylosować kulę czerwoną albo niebieską, więc liczba jednakowo prawdopodobnych wyników wynosi:

\[2\cdot2\cdot2=8\]

2 Policzenie wyników sprzyjających

Wybieramy dwa spośród trzech pojemników, z których wypadną kule czerwone. Każdy taki wynik ma prawdopodobieństwo jednej ósmej.

\[p=\frac{\binom{3}{2}}{8}=\frac{3}{8}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 3/8. Odpowiedź B.

\[p=\frac{3}{8}\]

Sprawdzenie

Wyniki z dokładnie dwiema czerwonymi kulami to: czerwona–czerwona–niebieska, czerwona–niebieska–czerwona i niebieska–czerwona–czerwona. Są trzy spośród ośmiu wyników.

\[\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\]
Zadanie 33
Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte4 pkt
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
47%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.

Rodzaj kupionych biletówLiczba osób
ulgowe76
normalne41

Uwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba osób, które kupiły bilet

Osoby, które kupiły oba rodzaje biletów, zostały policzone dwa razy, więc odejmujemy je raz.

\[76+41-27=90\]

2 Liczba osób, które nie kupiły żadnego biletu

Od liczby wszystkich ankietowanych odejmujemy liczbę osób, które kupiły co najmniej jeden bilet.

\[115-90=25\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę osób, które nie kupiły biletu, przez liczbę wszystkich ankietowanych, a następnie skracamy ułamek.

\[P=\frac{25}{115}=\frac{5}{23}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 5/23.

\[\frac{5}{23}\]

Sprawdzenie

90 osób kupiło co najmniej jeden bilet, a 25 osób żadnego; razem daje to 115. Liczby 5 i 23 nie mają wspólnego dzielnika większego od 1, więc ułamek jest nieskracalny.

\[90+25=115,\qquad \gcd(5,23)=1\]
Zadanie 26
Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
34%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Z wierzchołków sześcianu \(ABCDEFGH\) losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki. Prawdopodobieństwo tego, że wierzchołki te będą końcami przekątnej sześcianu \(ABCDEFGH\), jest równe

A
\(\frac{1}{7}\)
B
\(\frac{4}{7}\)
C
\(\frac{1}{14}\)
D
\(\frac{3}{7}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wszystkie pary

Losowanie jest jednoczesne, więc kolejność wierzchołków nie ma znaczenia. Z ośmiu wierzchołków można wybrać dwie na 28 sposobów.

\[\binom{8}{2}=\frac{8\cdot7}{2}=28\]

2 Pary sprzyjające

Sześcian ma cztery przekątne łączące przeciwległe wierzchołki. Każda wyznacza jedną parę sprzyjającą.

\[4\]

3 Prawdopodobieństwo

Dzielimy liczbę par sprzyjających przez liczbę wszystkich możliwych par.

\[P=\frac{4}{28}=\frac{1}{7}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\frac{1}{7}\]

Sprawdzenie

Każdy z ośmiu wierzchołków ma dokładnie jeden przeciwległy. Licząc w ten sposób, otrzymujemy osiem wskazań, lecz każdą parę liczymy dwa razy, więc są cztery pary sprzyjające.

\[\frac{8}{2}=4\]
Zadanie 23
Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
33%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W zestawie \(\underbrace{2,2,2,\ldots,2}_{m\text{ liczb}},\underbrace{4,4,4,\ldots,4}_{m\text{ liczb}}\) jest \(2m\) liczb (\(m\geq 1\)), w tym \(m\) liczb 2 i \(m\) liczb 4.

Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe

A
\(2\)
B
\(1\)
C
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
D
\(\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie średniej

Średnia jest potrzebna do obliczenia odchylenia standardowego. W zestawie jest po tyle samo dwójek i czwórek.

\[\overline{x}=\frac{2m+4m}{2m}=3\]

2 Obliczenie odchylenia standardowego

Każda liczba różni się od średniej o 1, więc średnia kwadratów tych różnic wynosi 1. Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z tej średniej.

\[s=\sqrt{\frac{m(2-3)^2+m(4-3)^2}{2m}}=\sqrt{1}=1\]

Odpowiedź

Odchylenie standardowe wynosi 1. Odpowiedź B.

\[s=1\]

Sprawdzenie

Dla każdego m ≥ 1 suma kwadratów odchyleń wynosi 2m, czyli dokładnie tyle, ile jest liczb. Ich średnia wynosi więc 1, co potwierdza wynik.

\[\frac{m\cdot 1^2+m\cdot 1^2}{2m}=1\]
Zadanie 34
Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte4 pkt
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
31%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych losowań

Liczb dwucyfrowych jest 90. Ponieważ losujemy bez zwracania, w drugim losowaniu pozostaje 89 liczb.

\[|\Omega|=90\cdot89=8010\]

2 Liczba losowań sprzyjających

Jeśli pierwsza liczba wynosi a, druga musi wynosić 30−a. Obie są dwucyfrowe dla a od 10 do 20. Spośród tych 11 możliwości odrzucamy a=15, bo liczby 15 nie można wylosować dwa razy.

\[10\leq a\leq20,\qquad 11-1=10\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę losowań sprzyjających przez liczbę wszystkich możliwych losowań i skracamy ułamek.

\[P=\frac{10}{8010}=\frac{1}{801}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 1/801.

\[\frac{1}{801}\]

Sprawdzenie

Pary różnych liczb o sumie 30 to (10, 20), (11, 19), (12, 18), (13, 17) i (14, 16). Każdą można wylosować w dwóch kolejnościach, co daje 10 losowań sprzyjających. Ułamek 1/801 jest nieskracalny.

\[5\cdot2=10,\qquad \frac{10}{90\cdot89}=\frac{1}{801}\]

2026 Utworzone przez zespół MaturaPodKlucz