Zbiór zadań maturalnych

Liczby rzeczywiste — zadania maturalne

Liczby rzeczywiste: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

Filtry zadań

Znajdź zadanie

Więcej filtrów
Wyczyść filtry
140 zadańStrona 10 z 10
Zadanie 1
Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Liczby rzeczywiste

Jeśli \(a=\frac{3}{2}\) i \(b=2\), to wartość wyrażenia \(\frac{a\cdot b}{a+b}\) jest równa

A
\(\frac{2}{3}\)
B
\(1\)
C
\(\frac{6}{7}\)
D
\(\frac{27}{6}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie licznika i mianownika

Podstawiamy podane wartości, aby obliczyć obie części ułamka.

\[a\cdot b=\frac{3}{2}\cdot2=3,\qquad a+b=\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}\]

2 Obliczenie wartości wyrażenia

Dzielimy licznik przez niezerowy mianownik, mnożąc przez odwrotność.

\[\frac{a\cdot b}{a+b}=\frac{3}{\frac{7}{2}}=3\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{7}\]

Odpowiedź

Wynik to \(\frac{6}{7}\), czyli odpowiedź C.

\[\frac{6}{7}\]

Sprawdzenie

Mianownik jest różny od zera. Kontrola: iloczyn wyniku i mianownika daje obliczony licznik.

\[a+b=\frac{7}{2}\ne0,\qquad \frac{6}{7}\cdot\frac{7}{2}=3=a\cdot b\]
Zadanie 2
Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Liczby rzeczywiste

Dany jest prostokąt o wymiarach \(40\,\mathrm{cm}\times100\,\mathrm{cm}\). Jeżeli każdy z dłuższych boków tego prostokąta wydłużymy o \(20\%\), a każdy z krótszych boków skrócimy o \(20\%\), to w wyniku obu przekształceń pole tego prostokąta

A
zwiększy się o \(8\%\).
B
zwiększy się o \(4\%\).
C
zmniejszy się o \(8\%\).
D
zmniejszy się o \(4\%\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Nowe wymiary

Wydłużenie o 20% oznacza pomnożenie długości przez 1,2, a skrócenie o 20% — przez 0,8.

\[100\cdot1{,}2=120\,\mathrm{cm},\qquad40\cdot0{,}8=32\,\mathrm{cm}\]

2 Porównanie pól

Obliczamy oba pola i odnosimy ich różnicę do pola początkowego.

\[P_0=40\cdot100=4000\,\mathrm{cm}^2,\quad P_1=120\cdot32=3840\,\mathrm{cm}^2,\quad\frac{P_0-P_1}{P_0}=\frac{160}{4000}=4\%\]

Odpowiedź

Pole zmniejszy się o 4%. Odpowiedź D.

\[P_1=96\%P_0\]

Sprawdzenie

Iloczyn zmian długości boków wynosi 0,96, więc nowe pole stanowi 96% początkowego, zgodnie z obliczeniem.

\[1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96=1-0{,}04\]
Zadanie 3
Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Liczby rzeczywiste

Liczba \(\frac{9^5\cdot5^9}{45^5}\) jest równa

A
\(45^{40}\)
B
\(45^9\)
C
\(9^4\)
D
\(5^4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż mianownik

Ponieważ \(45=9\cdot5\), stosujemy wzór na potęgę iloczynu.

\[45^5=(9\cdot5)^5=9^5\cdot5^5\]

2 Skróć ułamek

Skracamy jednakowe potęgi, a przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki.

\[\frac{9^5\cdot5^9}{9^5\cdot5^5}=5^{9-5}=5^4\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: \(5^4\).

\[5^4\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu \(45^5=9^5\cdot5^5\) do wyrażenia początkowego otrzymujemy \(5^4=625\).

\[\frac{9^5\cdot5^9}{45^5}=\frac{9^5\cdot5^9}{9^5\cdot5^5}=5^4=625\]
Zadanie 4
Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Liczby rzeczywiste

Liczba \(\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}\) jest równa

A
\(\sqrt{\frac{16}{63}}\)
B
\(\frac{16}{3\sqrt{7}}\)
C
\(1\)
D
\(\frac{3+\sqrt{7}}{3\sqrt{7}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie pierwiastków

Pierwiastki z ilorazów liczb dodatnich zapisujemy jako ilorazy pierwiastków.

\[\sqrt{\frac{9}{7}}=\frac{3}{\sqrt{7}},\qquad \sqrt{\frac{7}{9}}=\frac{\sqrt{7}}{3}\]

2 Dodanie ułamków

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika \(3\sqrt{7}\).

\[\frac{3}{\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{7}}{3}=\frac{9}{3\sqrt{7}}+\frac{7}{3\sqrt{7}}=\frac{16}{3\sqrt{7}}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\frac{16}{3\sqrt{7}}\]

Sprawdzenie

Po rozdzieleniu otrzymanego ułamka na składniki wracamy do liczby z treści zadania.

\[\frac{16}{3\sqrt{7}}=\frac{9}{3\sqrt{7}}+\frac{7}{3\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}\]
Zadanie 5
Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Liczby rzeczywiste

Wartość wyrażenia \(\log_5 0{,}04-\frac{1}{2}\log_{25}5\cdot\log_{25}1\) jest równa

A
\(-3\)
B
\(-2\frac{1}{4}\)
C
\(-2\)
D
\(0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pierwszego logarytmu

Zapisujemy liczbę 0,04 jako potęgę 5, aby skorzystać z definicji logarytmu.

\[0{,}04=\frac{1}{25}=5^{-2},\qquad \log_5 0{,}04=-2\]

2 Obliczenie wartości wyrażenia

Ponieważ każda dodatnia podstawa podniesiona do potęgi zerowej daje 1, drugi składnik jest równy zeru.

\[\log_{25}1=0,\qquad -2-\frac12\log_{25}5\cdot 0=-2\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: −2.

\[-2\]

Sprawdzenie

Rzeczywiście 5 do potęgi −2 daje 0,04, a 25 do potęgi 0 daje 1. Podstawy logarytmów są dodatnie i różne od 1, więc wynik spełnia warunki.

\[5^{-2}=0{,}04,\qquad 25^0=1\]

2026 Utworzone przez zespół MaturaPodKlucz