Zbiór zadań maturalnych

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej — zadania maturalne

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

Filtry zadań

Znajdź zadanie

Więcej filtrów
Wyczyść filtry
110 zadańStrona 8 z 8
Zadanie 10
Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta \(k\) przecina oś \(Oy\) układu współrzędnych w punkcie \((0,6)\) i jest równoległa do prostej o równaniu \(y=-3x\). Wówczas prosta \(k\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punkcie

A
\((-12,0)\)
B
\((-2,0)\)
C
\((2,0)\)
D
\((6,0)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie równania prostej

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, czyli −3. Ponieważ prosta k przechodzi przez punkt (0,6), jej wyraz wolny wynosi 6.

\[y=-3x+6\]

2 Wyznaczenie punktu przecięcia z osią Ox

Na osi Ox współrzędna y jest równa zeru, więc rozwiązujemy równanie względem x.

\[0=-3x+6\quad\Longrightarrow\quad x=2\]

Odpowiedź

Prosta k przecina oś Ox w punkcie (2,0). Odpowiedź C.

\[(2,0)\quad\text{— C}\]

Sprawdzenie

Punkt (2,0) spełnia równanie prostej, a jego druga współrzędna wynosi zero.

\[-3\cdot 2+6=0\]
Zadanie 33
Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte4 pkt
Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Ponadto wiadomo, że \(A=(-2,4)\) i \(B=(6,-2)\). Wierzchołek \(C\) należy do osi \(Oy\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie współrzędnych C

Ponieważ C leży na osi Oy, jego pierwsza współrzędna jest równa zero.

\[C=(0,y)\]

2 Porównanie długości ramion

Korzystamy ze wzoru na odległość punktów i warunku równości ramion. Porównanie kwadratów długości pozwala uniknąć pierwiastków.

\[|AC|^2=|BC|^2\quad\Longleftrightarrow\quad (0+2)^2+(y-4)^2=(0-6)^2+(y+2)^2\]

3 Obliczenie współrzędnej y

Rozwijamy kwadraty i rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe.

\[4+y^2-8y+16=36+y^2+4y+4\quad\Longleftrightarrow\quad -12y=20\quad\Longleftrightarrow\quad y=-\frac{5}{3}\]

Odpowiedź

Wierzchołek C ma współrzędne \(\left(0,-\frac{5}{3}\right)\).

\[C=\left(0,-\frac{5}{3}\right)\]

Sprawdzenie

Pierwsza współrzędna C wynosi zero, więc punkt leży na osi Oy. Kwadraty długości AC i BC są równe.

\[|AC|^2=4+\left(-\frac{5}{3}-4\right)^2=\frac{325}{9},\qquad |BC|^2=36+\left(-\frac{5}{3}+2\right)^2=\frac{325}{9}\]
Zadanie 20
Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty \(A=(-4,3)\) oraz \(B=(8,7)\), jest równy

A
\(a=3\)
B
\(a=-1\)
C
\(a=\frac{5}{6}\)
D
\(a=\frac{1}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego

Dla dwóch punktów o różnych współrzędnych x współczynnik kierunkowy jest ilorazem różnicy współrzędnych y i różnicy współrzędnych x. Ponieważ 8−(−4)=12≠0, możemy zastosować ten wzór.

\[a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{7-3}{8-(-4)}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Współczynnik kierunkowy wynosi 1/3. Odpowiedź D.

\[a=\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Przy wzroście x o 12 wartość y wzrasta o 4, więc nachylenie wynosi 4/12=1/3.

\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\]
Zadanie 21
Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkt \(S=(2,-5)\) jest środkiem odcinka \(AB\), gdzie \(A=(-4,3)\) i \(B=(8,b)\). Wtedy

A
\(b=-13\)
B
\(b=-2\)
C
\(b=-1\)
D
\(b=6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wzór na środek odcinka

Współrzędna pionowa środka jest średnią współrzędnych pionowych końców odcinka, więc układamy równanie dla b.

\[\frac{3+b}{2}=-5\]

2 Obliczenie b

Mnożymy obie strony przez 2 i odejmujemy 3.

\[3+b=-10\quad\Rightarrow\quad b=-13\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: b = −13.

\[b=-13\]

Sprawdzenie

Dla b = −13 średnie obu par współrzędnych wynoszą odpowiednio 2 i −5, więc otrzymujemy punkt S.

\[\left(\frac{-4+8}{2},\frac{3+(-13)}{2}\right)=(2,-5)\]
Zadanie 32
Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte4 pkt
Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach \(A=(-2,2)\), \(B=(6,-2)\), \(C=(10,6)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie równych boków

Oś symetrii trójkąta równoramiennego przechodzi przez wierzchołek, przy którym spotykają się równe boki.

\[|AB|^2=(6+2)^2+(-2-2)^2=80,\quad |BC|^2=(10-6)^2+(6+2)^2=80\]

2 Środek podstawy

Ponieważ \(AB=BC\), podstawą jest \(AC\). Jej środek należy do osi symetrii.

\[M=\left(\frac{-2+10}{2},\frac{2+6}{2}\right)=(4,4)\]

3 Równanie osi

Prosta przechodzi przez \(B=(6,-2)\) i \(M=(4,4)\), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi \(-3\).

\[a=\frac{4-(-2)}{4-6}=-3,\qquad y+2=-3(x-6),\qquad y=-3x+16\]

Odpowiedź

Oś symetrii ma równanie \(y=-3x+16\).

\[y=-3x+16\]

Sprawdzenie

Punkty \(B\) i \(M\) spełniają otrzymane równanie. Prosta \(AC\) ma współczynnik kierunkowy \(\frac13\), więc jest prostopadła do osi o współczynniku \(-3\). Oś przechodzi zatem przez wierzchołek trójkąta i jest symetralną jego podstawy.

\[-2=-3\cdot6+16,\quad 4=-3\cdot4+16,\quad \frac{6-2}{10-(-2)}\cdot(-3)=\frac13\cdot(-3)=-1\]

2026 Utworzone przez zespół MaturaPodKlucz