Zbiór zadań maturalnych

Funkcje — zadania maturalne

Funkcje: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

Filtry zadań

Znajdź zadanie

Więcej filtrów
Wyczyść filtry
65 zadańStrona 5 z 5
Zadanie 10
Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Funkcje
45%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku 1. przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej na zbiorze \(\langle -4,5\rangle\).

Funkcję \(g\) określono za pomocą funkcji \(f\). Wykres funkcji \(g\) przedstawiono na rysunku 2.

Wynika stąd, że

Rysunek 1. Wykres y=f(x) w układzie współrzędnych; łamana przechodzi przez punkty (-4,1), (-2,-1), (0,2), (5,-3), z zamalowanymi końcami.

Rysunek 2. Wykres y=g(x) w układzie współrzędnych; łamana przechodzi przez punkty (-6,1), (-4,-1), (-2,2), (3,-3), z zamalowanymi końcami.

A
\(g(x)=f(x)-2\)
B
\(g(x)=f(x-2)\)
C
\(g(x)=f(x)+2\)
D
\(g(x)=f(x+2)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie punktów wykresów

Odpowiadające sobie punkty mają te same wartości funkcji, a ich argumenty na wykresie g są o 2 mniejsze.

\[(-4,1)\mapsto(-6,1),\quad (0,2)\mapsto(-2,2),\quad (5,-3)\mapsto(3,-3)\]

2 Zapis przesunięcia

Przesunięcie wykresu funkcji f o 2 jednostki w lewo otrzymujemy, zastępując x przez x+2.

\[g(x)=f(x+2)\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[g(x)=f(x+2)\]

Sprawdzenie

Dziedzina po przesunięciu to przedział od −6 do 3, zgodny z końcami wykresu g.

\[-4\le x+2\le 5\iff -6\le x\le 3\]
Zadanie 31
Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Funkcje
35%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja liniowa \(f\) przyjmuje wartość \(2\) dla argumentu \(0\), a ponadto \(f(4)-f(2)=6\). Wyznacz wzór funkcji \(f\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Funkcję liniową zapisujemy w postaci ogólnej. Ponieważ wartość dla argumentu zero jest równa wyrazowi wolnemu, otrzymujemy \(b=2\).

\[f(x)=ax+b,\quad f(0)=b=2\]

2 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Podstawiamy wzór funkcji do podanej różnicy wartości i rozwiązujemy równanie.

\[f(4)-f(2)=(4a+2)-(2a+2)=2a=6,\quad a=3\]

Odpowiedź

Wzór funkcji to \(f(x)=3x+2\).

\[f(x)=3x+2\]

Sprawdzenie

Dla wyznaczonej funkcji \(f(0)=2\), a różnica \(f(4)-f(2)\) wynosi \(14-8=6\), więc oba warunki są spełnione.

\[f(0)=2,\quad f(4)-f(2)=14-8=6\]
Zadanie 35
Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte5 pkt
Funkcje
28%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykres funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma z prostą o równaniu \(y=6\) dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty \(A=(-5,0)\) i \(B=(3,0)\) należą do wykresu funkcji \(f\). Oblicz wartości współczynników \(a\), \(b\) oraz \(c\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz funkcję przez jej miejsca zerowe

Punkty A i B leżą na osi x, więc −5 i 3 są miejscami zerowymi funkcji.

\[f(x)=a(x+5)(x-3),\quad a\ne 0\]

2 Wyznacz wierzchołek i współczynnik a

Prosta y=6 ma z parabolą dokładnie jeden punkt wspólny, więc przechodzi przez jej wierzchołek. Jego pierwsza współrzędna jest średnią miejsc zerowych.

\[x_w=\frac{-5+3}{2}=-1,\qquad f(-1)=a\cdot4\cdot(-4)=-16a=6,\qquad a=-\frac{3}{8}\]

3 Oblicz b i c

Rozwijamy postać iloczynową i porównujemy współczynniki.

\[f(x)=-\frac{3}{8}(x^2+2x-15)=-\frac{3}{8}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{45}{8}\]

Odpowiedź

a = −3/8, b = −3/4, c = 45/8.

\[a=-\frac{3}{8},\quad b=-\frac{3}{4},\quad c=\frac{45}{8}\]

Sprawdzenie

Dla x = −5 i x = 3 funkcja ma wartość 0. Równanie f(x)=6 ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = −1.

\[f(-5)=f(3)=0,\qquad f(x)-6=-\frac{3}{8}(x+1)^2=0\iff x=-1\]
Zadanie 29
Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte4 pkt
Funkcje
26%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) wzorem \(f(x)=ax^{2}+bx+c\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(6\) oraz \(f(-6)=f(0)=\frac{3}{2}\). Oblicz wartość współczynnika \(a\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wierzchołka

Równe wartości funkcji w punktach \(-6\) i \(0\) oznaczają, że oś symetrii paraboli leży w połowie między nimi. W wierzchołku funkcja osiąga wartość \(6\).

\[x_w=\frac{-6+0}{2}=-3,\qquad f(x)=a(x+3)^2+6\]

2 Obliczenie współczynnika

Podstawiamy \(x=0\) i korzystamy z podanej wartości funkcji.

\[\frac{3}{2}=9a+6\quad\Longrightarrow\quad 9a=-\frac{9}{2}\quad\Longrightarrow\quad a=-\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Współczynnik \(a\) jest równy \(-\frac{1}{2}\).

\[a=-\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Dla \(a=-\frac{1}{2}\) wartości w punktach \(-6\) i \(0\) wynoszą \(\frac{3}{2}\). Ponieważ \(a<0\), parabola jest skierowana ramionami w dół, więc wartość \(6\) w wierzchołku jest największa.

\[f(-6)=f(0)=-\frac{1}{2}\cdot 9+6=\frac{3}{2},\qquad f(-3)=6\]
Zadanie 8
Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Funkcje
22%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest

Wykres funkcji f w układzie współrzędnych z osiami x i y oraz siatką. Lewa część biegnie od punktu zamkniętego (-3,-1) przez (-2,-1) i (-1,0) do punktu otwartego (0,-2). Prawa część biegnie od punktu otwartego (0,2) przez (1,2) i (2,-1) do punktu zamkniętego (4,-1).

A
\((-2,2)\)
B
\(\langle-2,2)\)
C
\(\langle-2,2\rangle\)
D
\((-2,2\rangle\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wartości lewej części wykresu

Wykres zbliża się do wysokości −2, ale punkt na tej wysokości jest otwarty. Osiąga natomiast wysokość 0.

\[W_1=(-2,0]\]

2 Wartości prawej części wykresu

Ta część wykresu osiąga zarówno wysokość −1, jak i 2, oraz wszystkie wartości pomiędzy nimi.

\[W_2=[-1,2]\]

3 Połączenie przedziałów

Zbiór wartości całej funkcji jest sumą wartości obu części wykresu.

\[W_f=(-2,0]\cup[-1,2]=(-2,2]\]

Odpowiedź

Zbiór wartości funkcji to przedział od −2 bez tej liczby do 2 włącznie. Odpowiedź D.

\[W_f=(-2,2]\]

Sprawdzenie

Wartość −2 nie jest przyjmowana, bo odpowiada jej punkt otwarty. Wartość 2 jest przyjmowana dla x=1. Odcinki wykresu obejmują wszystkie wysokości między tymi wartościami.

\[f(1)=2,\qquad -2\notin W_f\]

2026 Utworzone przez zespół MaturaPodKlucz