Zbiór zadań maturalnych

Układy równań — zadania maturalne

Układy równań: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

Filtry zadań

Znajdź zadanie

Więcej filtrów
Wyczyść filtry
19 zadańStrona 2 z 2
Zadanie 12
Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Układy równań

Układ równań \(\begin{cases}2x-3y=5\\-4x+6y=-10\end{cases}\)

A
nie ma rozwiązań.
B
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
C
ma dokładnie dwa rozwiązania.
D
ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie równań

Mnożymy pierwsze równanie przez \(-2\), aby sprawdzić, czy oba równania opisują tę samą prostą.

\[-2(2x-3y=5)\quad\Longrightarrow\quad -4x+6y=-10\]

2 Wyznaczenie rozwiązań

Drugie równanie jest równoważne pierwszemu. Możemy więc dowolnie wybrać \(y=t\) i obliczyć \(x\).

\[2x-3t=5\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{5+3t}{2},\qquad t\in\mathbb{R}\]

Odpowiedź

Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Odpowiedź D.

\[(x,y)=\left(\frac{5+3t}{2},t\right),\qquad t\in\mathbb{R}\]

Sprawdzenie

Dla każdego \(t\in\mathbb{R}\) otrzymana para spełnia pierwsze równanie, a zatem również drugie, będące jego wielokrotnością.

\[2\cdot\frac{5+3t}{2}-3t=5,\qquad -4\cdot\frac{5+3t}{2}+6t=-10\]
Zadanie 27
Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Układy równań

Jeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy 32, a mianownik pozostawimy niezmieniony, to otrzymamy liczbę \(2\). Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego ułamka odejmiemy 6, to otrzymamy liczbę \(\frac{8}{17}\). Wyznacz ten ułamek.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie warunków

Oznaczamy licznik przez a, a mianownik przez b. Mianowniki muszą być różne od zera.

\[\frac{a+32}{b}=2,\qquad \frac{a-6}{b-6}=\frac{8}{17},\qquad b\ne 0,\ b\ne 6\]

2 Wyznaczenie mianownika

Z pierwszego równania wyznaczamy a, podstawiamy do drugiego i mnożymy na krzyż.

\[a=2b-32,\qquad 17(2b-38)=8(b-6),\qquad 34b-646=8b-48,\qquad 26b=598,\qquad b=23\]

3 Wyznaczenie licznika

Podstawiamy obliczony mianownik do wzoru na a.

\[a=2\cdot23-32=14\]

Odpowiedź

Szukany ułamek to 14/23.

\[\frac{14}{23}\]

Sprawdzenie

Dodanie 32 do licznika daje 46/23 = 2, a odjęcie 6 od licznika i mianownika daje 8/17. Mianowniki 23 i 17 są niezerowe, a liczby 14 i 23 są względnie pierwsze, więc ułamek jest nieskracalny.

\[\frac{14+32}{23}=2,\qquad \frac{14-6}{23-6}=\frac{8}{17},\qquad \operatorname{NWD}(14,23)=1\]
Zadanie 5
Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Układy równań

Para liczb \(x=2\) i \(y=1\) jest rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}x+ay=5\\2x-y=3\end{cases}\), gdy

A
\(a=-3\)
B
\(a=-2\)
C
\(a=2\)
D
\(a=3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie do pierwszego równania

Aby wyznaczyć parametr, podstawiamy podane wartości \(x=2\) i \(y=1\).

\[2+a\cdot1=5\quad\Rightarrow\quad a=3\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D, czyli \(a=3\).

\[a=3\]

Sprawdzenie

Dla \(x=2\), \(y=1\) i \(a=3\) oba równania są spełnione.

\[2+3\cdot1=5,\qquad 2\cdot2-1=3\]
Zadanie 7
Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Układy równań

Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań \[\begin{cases}x+3y=-5\\3x-2y=-4\end{cases}\] Wskaż ten rysunek.

A

Wykres dwóch prostych w układzie współrzędnych

B

Wykres dwóch prostych w układzie współrzędnych

C

Wykres dwóch prostych w układzie współrzędnych

D

Wykres dwóch prostych w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie równań prostych

Przekształcamy oba równania do postaci kierunkowej, aby odczytać nachylenie prostych i miejsca przecięcia z osią \(y\).

\[x+3y=-5\ \Longrightarrow\ y=-\frac{1}{3}x-\frac{5}{3},\qquad 3x-2y=-4\ \Longrightarrow\ y=\frac{3}{2}x+2\]

2 Wybór rysunku

Szukamy prostej malejącej przecinającej oś \(y\) w \(-\frac{5}{3}\) oraz prostej rosnącej przecinającej tę oś w \(2\). Takie proste przedstawia rysunek A.

\[b_1=-\frac{5}{3},\quad a_1=-\frac{1}{3};\qquad b_2=2,\quad a_2=\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Rysunek A.

\[\boxed{\mathrm{A}}\]

Sprawdzenie

Proste na rysunku A przecinają się w punkcie \((-2,-1)\). Podstawienie tego punktu spełnia oba równania.

\[-2+3(-1)=-5,\qquad 3(-2)-2(-1)=-4\]

2026 Utworzone przez zespół MaturaPodKlucz