Zbiór zadań maturalnych

Planimetria — zadania maturalne

Planimetria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

Filtry zadań

Znajdź zadanie

Więcej filtrów
Wyczyść filtry
139 zadańStrona 10 z 10
Zadanie 28
Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Planimetria

Czworokąt \(ABCD\) wpisano w okrąg tak, że bok \(AB\) jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że \(|AD|^2+|BD|^2=|BC|^2+|AC|^2\).

Czworokąt ABCD wpisany w okrąg; AB jest średnicą, O oznacza środek okręgu, a przekątne AC i BD narysowano liniami przerywanymi.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Trójkąt ABD

Kąt ADB jest prosty, ponieważ opiera się na średnicy AB. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

\[|AD|^2+|BD|^2=|AB|^2\]

2 Trójkąt ABC

Kąt ACB również opiera się na średnicy AB, więc jest prosty. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

\[|BC|^2+|AC|^2=|AB|^2\]

Odpowiedź

Obie sumy są równe kwadratowi długości tej samej średnicy, zatem zachodzi żądana równość.

\[|AD|^2+|BD|^2=|BC|^2+|AC|^2\]

Sprawdzenie

W obu trójkątach bok AB leży naprzeciw kąta prostego, więc jest przeciwprostokątną. Twierdzenie Pitagorasa zostało zastosowane do właściwych boków.

\[|AD|^2+|BD|^2=|AB|^2=|BC|^2+|AC|^2\]
Zadanie 18
Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Planimetria

Pole rombu o boku \(6\) i kącie rozwartym \(150^\circ\) jest równe

A
\(18\sqrt{2}\)
B
\(18\)
C
\(36\sqrt{2}\)
D
\(36\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wysokości

Wysokość rombu opuszczona na bok długości 6 jest przyprostokątną w trójkącie prostokątnym, więc korzystamy z sinusa kąta 150°.

\[h=6\sin150^\circ=6\cdot\frac12=3\]

2 Obliczenie pola

Pole rombu jest iloczynem długości boku i odpowiadającej mu wysokości.

\[P=6\cdot3=18\]

Odpowiedź

Pole rombu wynosi 18. Odpowiedź B.

\[P=18\]

Sprawdzenie

Kąt ostry rombu ma 30°, a jego sinus także wynosi 1/2. Daje to tę samą wysokość 3 i pole 18.

\[180^\circ-150^\circ=30^\circ,\quad 6\cdot6\sin30^\circ=36\cdot\frac12=18\]
Zadanie 19
Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Planimetria

W okręgu o środku \(O\) dany jest kąt o mierze \(50^\circ\), zaznaczony na rysunku.

Miara kąta oznaczonego na rysunku literą \(\alpha\) jest równa

Okrąg o środku O z cięciwami, zaznaczonym kątem 50° i kątem α.

A
\(40^\circ\)
B
\(50^\circ\)
C
\(20^\circ\)
D
\(25^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt oparty na średnicy

Oznaczmy punkty na okręgu: lewy przez A, górny przez B, prawy przez C, dolny przez D. Odcinek AC przechodzi przez środek O, więc jest średnicą. Kąt wpisany ABC oparty na średnicy jest prosty.

\[\angle ABC=90^\circ\]

2 Obliczenie kąta przy A

Suma kątów w trójkącie ABC wynosi 180°, a zaznaczony kąt przy C ma 50°.

\[\angle BAC=180^\circ-90^\circ-50^\circ=40^\circ\]

3 Wyznaczenie kąta α

Kąty BAC i BDC są wpisane oraz oparte na tym samym łuku BC, więc mają równe miary.

\[\alpha=\angle BDC=\angle BAC=40^\circ\]

Odpowiedź

A. Miara kąta α wynosi 40°.

\[\alpha=40^\circ\]

Sprawdzenie

Kąty przy A i D opierają się na tym samym łuku BC, zatem obliczona miara 40° pasuje także do kąta α.

\[\angle BAC=\angle BDC=40^\circ\]
Zadanie 31
Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Planimetria

W prostokącie \(ABCD\) punkt \(P\) jest środkiem boku \(BC\), a punkt \(R\) jest środkiem boku \(CD\). Wykaż, że pole trójkąta \(APR\) jest równe sumie pól trójkątów \(ADR\) oraz \(PCR\).

Prostokąt ABCD z punktami P na boku BC i R na boku CD oraz odcinkami AP, AR i PR.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie boków

Oznaczamy długości boków prostokąta. Ponieważ P i R są środkami boków, znamy długości połówek tych boków.

\[AB=CD=a,\quad BC=AD=b,\quad BP=PC=\frac b2,\quad CR=RD=\frac a2\]

2 Pola trzech trójkątów

Trójkąty ABP, ADR i PCR są prostokątne, więc ich pola obliczamy jako połowę iloczynu przyprostokątnych.

\[P_{ABP}=\frac12\cdot a\cdot\frac b2=\frac{ab}{4},\quad P_{ADR}=\frac12\cdot b\cdot\frac a2=\frac{ab}{4},\quad P_{PCR}=\frac12\cdot\frac b2\cdot\frac a2=\frac{ab}{8}\]

3 Pole trójkąta APR

Te trzy trójkąty wraz z APR wypełniają prostokąt, więc odejmujemy ich pola od pola prostokąta.

\[P_{APR}=ab-\frac{ab}{4}-\frac{ab}{4}-\frac{ab}{8}=\frac{3ab}{8}\]

Odpowiedź

Pole trójkąta APR jest równe sumie pól trójkątów ADR i PCR.

\[P_{APR}=\frac{3ab}{8}=\frac{ab}{4}+\frac{ab}{8}=P_{ADR}+P_{PCR}\]

Sprawdzenie

Suma pól czterech trójkątów wynosi ab, czyli pole całego prostokąta; rachunek uwzględnia więc cały podział figury.

\[\frac{3ab}{8}+\frac{ab}{4}+\frac{ab}{4}+\frac{ab}{8}=ab\]

2026 Utworzone przez zespół MaturaPodKlucz