Zbiór zadań maturalnych

Wyrażenia algebraiczne — zadania maturalne

Wyrażenia algebraiczne: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

Filtry zadań

Znajdź zadanie

Więcej filtrów
Wyczyść filtry
18 zadańStrona 2 z 2
Zadanie 28
Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Wyrażenia algebraiczne
20%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(3a^2-2ab+3b^2\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie jako sumy kwadratów

Szukamy postaci, w której każdy składnik jest nieujemny.

\[3a^2-2ab+3b^2=(a-b)^2+2a^2+2b^2\]

2 Wykazanie nierówności

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc suma po prawej stronie jest nieujemna.

\[(a-b)^2+2a^2+2b^2\geq 0\]

Odpowiedź

Nierówność zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\). Równość występuje tylko dla \(a=b=0\).

\[3a^2-2ab+3b^2\geq 0\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu kwadratu otrzymujemy wyjściowe wyrażenie. Suma składników nieujemnych jest zerem dokładnie wtedy, gdy \(a=b=0\).

\[(a-b)^2+2a^2+2b^2=a^2-2ab+b^2+2a^2+2b^2=3a^2-2ab+3b^2\]
Zadanie 27
Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Wyrażenia algebraiczne
18%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \(4x^2-8xy+5y^2\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie jako sumy kwadratów

Uzupełniamy wyrażenie do kwadratu, aby wykazać, że jest nieujemne dla dowolnych liczb rzeczywistych.

\[4x^2-8xy+5y^2=(2x-2y)^2+y^2\]

2 Zastosowanie nieujemności kwadratów

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc ich suma również jest nieujemna.

\[(2x-2y)^2\geq 0,\quad y^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad 4x^2-8xy+5y^2\geq 0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\).

\[\forall x,y\in\mathbb{R}\quad 4x^2-8xy+5y^2\geq 0\]

Sprawdzenie

Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy oba kwadraty są równe zeru, czyli gdy \(x=y=0\). Po podstawieniu otrzymujemy \(0=0\).

\[(2x-2y)^2+y^2=0\iff y=0\ \text{oraz}\ 2x-2y=0\iff x=y=0\]
Zadanie 32
Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Wyrażenia algebraiczne
6%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x \neq 1\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność

\(x^2+y^2+5>2x+4y\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby wykazać nierówność, wystarczy udowodnić, że różnica jej stron jest dodatnia.

\[x^2+y^2+5-2x-4y>0\]

2 Uzupełnij do kwadratów

Zapisujemy różnicę jako sumę kwadratów, których znaki łatwo ustalić.

\[x^2+y^2+5-2x-4y=(x-1)^2+(y-2)^2\]

3 Wykorzystaj warunek

Ponieważ \(x\neq 1\), pierwszy kwadrat jest dodatni. Drugi jest nieujemny dla każdego rzeczywistego \(y\).

\[(x-1)^2>0,\quad (y-2)^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad (x-1)^2+(y-2)^2>0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla każdego \(x\neq 1\) i każdego \(y\in\mathbb{R}\).

\[x^2+y^2+5>2x+4y\]

Sprawdzenie

Równość mogłaby zachodzić tylko wtedy, gdy oba kwadraty byłyby zerowe, czyli dla \(x=1\) i \(y=2\). Warunek \(x\neq 1\) wyklucza ten przypadek.

\[(x-1)^2+(y-2)^2=0\iff x=1\ \land\ y=2\]

2026 Utworzone przez zespół MaturaPodKlucz