Zbiór zadań maturalnych

Stereometria — zadania maturalne

Stereometria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

Filtry zadań

Znajdź zadanie

Więcej filtrów
Wyczyść filtry
33 zadańStrona 3 z 3
Zadanie 26
Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy
Otwarte1 pkt
Stereometria
23%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ostrosłup \(F_1\) jest podobny do ostrosłupa \(F_2\). Objętość ostrosłupa \(F_1\) jest równa \(64\). Objętość ostrosłupa \(F_2\) jest równa \(512\).

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \(F_2\) do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \(F_1\) jest równy ……… .

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie skali podobieństwa

Objętości brył podobnych są w stosunku równym sześcianowi skali podobieństwa. Dlatego skala ostrosłupa F₂ względem F₁ wynosi 2.

\[k^3=\frac{V_2}{V_1}=\frac{512}{64}=8,\qquad k=2\]

2 Obliczenie stosunku pól

Pola powierzchni brył podobnych są w stosunku równym kwadratowi skali podobieństwa.

\[\frac{P_2}{P_1}=k^2=2^2=4\]

Odpowiedź

W wykropkowanym miejscu należy wpisać 4.

\[4\]

Sprawdzenie

Skala 2 daje stosunek objętości 8, zgodny z danymi, oraz stosunek pól 4.

\[2^3=8=\frac{512}{64},\qquad 2^2=4\]
Zadanie 34
Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte4 pkt
Stereometria
23%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa \(\frac{5\sqrt{3}}{4}\), a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe \(\frac{15\sqrt{3}}{4}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie boku podstawy

Trzy ściany boczne są jednakowymi trójkątami. Ich łączne pole pozwala obliczyć bok podstawy \(a\).

\[\frac{3a}{2}\cdot\frac{5\sqrt{3}}{4}=\frac{15\sqrt{3}}{4}\quad\Rightarrow\quad a=2\]

2 Wyznaczenie wysokości ostrosłupa

Wysokość ściany bocznej, wysokość ostrosłupa \(H\) i promień okręgu wpisanego w podstawę tworzą trójkąt prostokątny. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3},\qquad H^2=\left(\frac{5\sqrt{3}}{4}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2=\frac{209}{48}\]

3 Obliczenie objętości

Pole równobocznej podstawy wynosi \(\sqrt{3}\). Korzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa.

\[V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{\frac{209}{48}}=\frac{\sqrt{209}}{12}\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi \(\frac{\sqrt{209}}{12}\).

\[V=\frac{\sqrt{209}}{12}\]

Sprawdzenie

Dla boku podstawy \(a=2\) pole trzech ścian bocznych jest zgodne z podanym. Ponadto \(H^2+r^2\) daje kwadrat podanej wysokości ściany bocznej.

\[3\cdot\frac{2\cdot5\sqrt{3}}{8}=\frac{15\sqrt{3}}{4},\qquad\frac{209}{48}+\frac{1}{3}=\frac{75}{16}=\left(\frac{5\sqrt{3}}{4}\right)^2\]
Zadanie 34
Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte5 pkt
Stereometria
21%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\), którego krawędź boczna ma długość \(6\) (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy \(\sqrt{7}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rysunek ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS z krawędzią boczną SC oznaczoną liczbą 6.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości

Niech O będzie środkiem kwadratu ABCD, a M środkiem boku BC. W ostrosłupie prawidłowym SO jest wysokością, a kąt SMO jest kątem nachylenia ściany bocznej do podstawy. Ponieważ OM jest połową boku podstawy, z definicji tangensa wyznaczamy wysokość h.

\[OM=\frac a2,\qquad \tan\angle SMO=\frac{SO}{OM}=\sqrt7,\qquad h=SO=\frac{a\sqrt7}{2}\]

2 Obliczenie boku podstawy

Przekątna kwadratu ma długość a√2, więc OC jest połową przekątnej. W trójkącie prostokątnym SOC stosujemy twierdzenie Pitagorasa; SC=6.

\[OC=\frac{a\sqrt2}{2},\qquad 6^2=\left(\frac{a\sqrt7}{2}\right)^2+\left(\frac{a\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{9a^2}{4},\qquad a=4,\quad h=2\sqrt7\]

3 Obliczenie objętości

Pole kwadratowej podstawy wynosi a². Podstawiamy je i wysokość do wzoru na objętość ostrosłupa.

\[V=\frac13a^2h=\frac13\cdot 4^2\cdot 2\sqrt7=\frac{32\sqrt7}{3}\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi \(\frac{32\sqrt7}{3}\) jednostek sześciennych.

\[V=\frac{32\sqrt7}{3}\]

Sprawdzenie

Dla boku podstawy 4 odległość O od boku BC wynosi 2, więc tangens kąta nachylenia to \(2\sqrt7/2=\sqrt7\). Krawędź boczna ma długość \(\sqrt{(2\sqrt7)^2+(2\sqrt2)^2}=6\), zgodnie z danymi.

\[\frac{h}{OM}=\frac{2\sqrt7}{2}=\sqrt7,\qquad SC=\sqrt{28+8}=6\]

2026 Utworzone przez zespół MaturaPodKlucz