Ćwiczenia – Dowody matematyczne

Co obala zdanie „każda liczba całkowita ma dodatni kwadrat”?

Które przekształcenie kończy dowód równości \((a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)?

Dlaczego sprawdzenie tezy dla trzech liczb nie dowodzi twierdzenia dla wszystkich liczb?

Kiedy można podzielić obie strony równości przez wyrażenie \(x-2\)?

Co jest poprawną strategią dowodzenia tożsamości?

Który zapis jest poprawnym rozwinięciem \((a-b)^2\)?

Który zapis dowodzi podzielności liczby całkowitej przez siedem?

Co trzeba wykazać, aby udowodnić podzielność liczby \(a\) przez 5?

Dlaczego iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 3?

Który rozkład jest poprawny?

Dla każdego całkowitego \(k\): który zapis opisuje liczbę dającą resztę 2 przy dzieleniu przez 5?

Dlaczego kilka przykładów nie wystarcza w dowodzie podzielności dla każdego \(n\)?

Które zdanie o zerze jest prawdziwe?

Który zapis jest nieparzysty dla każdego całkowitego \(k\)?

Jaka jest suma dwóch liczb nieparzystych?

Jaki jest iloczyn liczby parzystej i dowolnej liczby całkowitej?

Dlaczego dwóch dowolnych liczb nieparzystych nie zapisujemy tym samym parametrem \(k\)?

Która postać dowodzi, że kwadrat liczby nieparzystej jest nieparzysty?

W rozwinięciu \((2x+3)^2\) składnik mieszany wynosi:

Który wzór jest poprawny?

Jak rozłożyć \(x^2-9\) na czynniki?

Ile wynosi \((x+y)^2+(x-y)^2\)?

Którego składnika brakuje w błędnym zapisie \((a-b)^2=a^2+b^2\)?

Jaka strategia jest zwykle najprostsza w dowodzie tożsamości?

Kiedy zachodzi równość w \(x^2+4\ge4x\)?

Który fakt rozpoczyna dowód \(a^2+b^2\ge2ab\)?

Kiedy w nierówności \(a^2+b^2\ge2ab\) zachodzi równość?

Do jakiej postaci sprowadza się różnica \(x^2+4-4x\)?

Co dzieje się ze znakiem nierówności po pomnożeniu obu stron przez liczbę ujemną?

Co trzeba sprawdzić przed dzieleniem nierówności przez wyrażenie zależne od x?

Czy przekątne każdego prostokąta są prostopadłe?

Co jest poprawnym uzasadnieniem równości przekątnych prostokąta?

Czy z samego rysunku wolno wnioskować, że dwa odcinki są równe?

Który fakt wynika z definicji trójkąta równoramiennego?

Co należy sprawdzić przed zastosowaniem twierdzenia?

Z jakiego faktu wynikają równe kąty naprzemianległe?

W równoległoboku \(AS=3\) i \(BS=5\), a S jest przecięciem przekątnych. Ile wynosi SC?

Która własność charakteryzuje przekątne równoległoboku?

Który warunek wystarcza, by równoległobok był prostokątem?

Dlaczego same równe przekątne nie dowodzą, że dowolny czworokąt jest prostokątem?

Które zdanie jest prawdziwe?

Co trzeba podać, uzasadniając rozpoznanie figury?

W dowodzie otrzymano \(W=3(k+2)\) przy całkowitym k. Jak zakończyć argument?

Jaka kolejność najlepiej opisuje pełny dowód?

Dlaczego w dowodzie parzystości zapisujemy \(k,m\in\mathbb{Z}\)?

Przy całkowitym \(m\ne0\): które zdanie jest poprawnym zakończeniem dowodu podzielności?

Co może zastąpić zwrot „widać z rysunku”?

Co należy zrobić z nowym oznaczeniem użytym w dowodzie?