Dowód algebraiczny uzasadnia twierdzenie dla wszystkich wartości spełniających założenia. Polega na poprawnych przekształceniach wyrażeń i wyraźnym wskazaniu, dlaczego otrzymany zapis prowadzi do tezy.
Pojęcia, od których zaczynamy
Założenia mówią, o jakich liczbach mowa, np. rzeczywistych lub całkowitych i niezerowych. Teza jest tym, co dopiero trzeba wykazać. Dla tożsamości z dwiema zmiennymi wybieramy dowolne dopuszczalne a i b, a następnie wykonujemy rachunek bez ustalania ich konkretnych wartości.
Sprawdzenie kilku przykładów pomaga odkryć wzór lub znaleźć błąd, lecz nie dowodzi zdania o wszystkich liczbach. Jeden kontrprzykład wystarcza natomiast do obalenia takiego zdania. Aby wykazać podzielność przez pięć, trzeba uzyskać postać \(5m\) i uzasadnić, że \(m\) jest całkowite. Sam czynnik pięć bez tego warunku nie wystarcza.
Zasada i zapis
Wzory są prawdziwe dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b. Minus przed całym nawiasem zmienia znak każdego jego składnika.
Jak czytać rysunek?
Diagram przedstawia dwa dowolne kolejne numery całkowite n i n+1 oraz dwa możliwe przypadki parzystości n. Jeśli n jest parzyste, pierwszy czynnik ma dwójkę. Jeśli nieparzyste, dwójkę ma następnik. To pełny podział na przypadki, a nie sprawdzenie kilku konkretnych liczb.
Przykład krok po kroku
Udowodnij dla dowolnych rzeczywistych a i b tożsamość \((a+b)^2-(a-b)^2=4ab\).
- Zacznij od lewej strony i rozwiń oba kwadraty. Drugi pozostaw w nawiasie.\((a+b)^2-(a-b)^2=a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)\)
- Odejmij wszystkie składniki drugiego nawiasu, zmieniając ich znaki.\(a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2\)
- Zredukuj przeciwne składniki. Pozostałe dwa wyrazy mieszane dodaj.\(2ab+2ab=4ab\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
Przykład podzielności: dla całkowitego \(n\) iloczyn \(n(n+1)\) jest parzysty, bo jedna z dwóch kolejnych liczb jest parzysta. Formalnie dla \(n=2k\) mamy \(2k(2k+1)\), a dla \(n=2k+1\) otrzymujemy \((2k+1)2(k+1)\). W obu przypadkach jest to dwa razy liczba całkowita. Oba przypadki wyczerpują wszystkie liczby całkowite.
Nierówność \(x^2+1\ge2x\) wynika z \(x^2-2x+1=(x-1)^2\ge0\); równość zachodzi dla \(x=1\). Nie wolno dzielić przez wyrażenie, które może być zerem, bez sprawdzenia tego przypadku. W dowodzie nie zakładaj tezy jako gotowego faktu; prowadź argument od założeń lub od już znanych prawdziwych równości.