Dowód podzielności pokazuje, że dane wyrażenie jest całkowitą wielokrotnością wskazanego dzielnika. Trzeba uzasadnić to dla dowolnej liczby spełniającej założenia, a nie tylko dla kilku przykładów.
Pojęcia, od których zaczynamy
Liczba dwanaście jest podzielna przez trzy, ponieważ \(12=3\cdot4\), a cztery jest całkowite. Podzielność nie oznacza jedynie możliwości wykonania dzielenia na kalkulatorze. Każdą liczbę można zapisać jako trzy razy jakiś ułamek; w dowodzie potrzebujemy całkowitego drugiego czynnika.
Zapis \(m\mid a\) czytamy „m dzieli a”. Przyjmujemy całkowite a i niezerowe całkowite m. Symbol \(\mathbb Z\) oznacza liczby całkowite: ujemne, zero i dodatnie. Zero jest podzielne przez każdy niezerowy dzielnik, bo \(0=m\cdot0\). Nie dzielimy natomiast przez zero.
Zasada i zapis
W dowodzie należy wskazać dzielnik i uzasadnić całkowitość drugiego czynnika. Przy rozkładzie na czynniki można też wykazać obecność wymaganych dzielników.
Jak czytać rysunek?
Trzy kolejne liczby zajmują wszystkie trzy możliwe klasy reszt przy dzieleniu przez trzy. Niezależnie od tego, od której reszty zaczynamy, jedna liczba ma resztę zero. Dodatkowo wśród kolejnych liczb występuje liczba parzysta. Rysunek opisuje możliwe reszty, a nie tylko jeden przykład liczbowy.
Przykład krok po kroku
Wykaż, że dla każdego całkowitego n liczba \(n^3-n\) jest podzielna przez sześć.
- Wyłącz wspólny czynnik i zastosuj różnicę kwadratów.\(n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)\)
- Rozpoznaj trzy kolejne liczby. Jedna jest podzielna przez trzy, a co najmniej jedna przez dwa.\(3\mid n(n-1)(n+1),\qquad2\mid n(n-1)(n+1)\)
- Dwa i trzy nie mają wspólnego dzielnika większego od jedności, więc można połączyć te warunki.\(6\mid n^3-n\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
Inny dowód: różnica kwadratów dwóch liczb całkowitych o tej samej reszcie przy dzieleniu przez pięć jest podzielna przez pięć. Zapisz \(a=5k+r\), \(b=5l+r\). Wtedy \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)=5(k-l)(a+b)\), a pozostały czynnik jest całkowity. Wspólna reszta znika w różnicy.
Dla dodatniego dzielnika m zapis reszty ma postać \(n=mq+r\), gdzie \(q\) jest całkowite i \(0\le r\lt m\). Nie wystarczy zakończyć na samym rozkładzie: dopisz, dlaczego ujawnione czynniki zapewniają właśnie żądaną podzielność. Przykłady służą kontroli, lecz nie zastępują ogólnego argumentu.