W dowodach parzystości zapisujemy liczbę parzystą jako \(2k\), a nieparzystą jako \(2k+1\), z całkowitym k. Następnie przekształcamy wynik tak, by rozpoznać jedną z tych postaci.
Pojęcia, od których zaczynamy
Parzysta liczba całkowita dzieli się przez dwa bez reszty. Nieparzysta zostawia resztę jeden. Dotyczy to również liczb ujemnych: \(-3=2\cdot(-2)+1\). Zero jest parzyste. Nie klasyfikujemy w ten sposób dowolnych ułamków, np. jednej drugiej.
Dwie dowolne liczby zapisujemy z osobnymi parametrami. Postacie \(2k+1\) i \(2m+1\) obejmują liczby równe i różne. Użycie dwa razy tego samego parametru wymuszałoby ich równość i nie dawałoby dowodu dla dowolnej pary. Litery są narzędziem opisu wszystkich przypadków.
Zasada i zapis
O parzystości decyduje całkowitość parametru. Po przekształceniu trzeba uzasadnić, że nowy czynnik też jest całkowity.
Jak czytać rysunek?
Dwa bloki oznaczają dowolne wielokrotności dwójki. Do każdego nieparzystego składnika dochodzi jedna dodatkowa jedynka. Te dwie jedynki łączą się w parę. Schemat ilustruje rachunek dla dowolnych parametrów, nie ogranicza ich do długości narysowanych bloków.
Przykład krok po kroku
Udowodnij, że suma dwóch liczb nieparzystych jest parzysta.
- Oznacz dowolne liczby nieparzyste z osobnymi całkowitymi parametrami.\(a=2k+1,\quad b=2m+1,\quad k,m\in\mathbb Z\)
- Dodaj i wyłącz dwójkę z całej sumy.\(a+b=2k+1+2m+1=2(k+m+1)\)
- Wskaż całkowity czynnik. Otrzymana postać jest definicją liczby parzystej.\(k+m+1\in\mathbb Z\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
Iloczyn dwóch nieparzystych liczb jest nieparzysty: \((2k+1)(2m+1)=2(2km+k+m)+1\). Iloczyn liczby parzystej i dowolnej całkowitej jest parzysty, bo \(2k\cdot m=2(km)\). W obu rachunkach wskazany nowy parametr jest całkowity.
Kwadrat nieparzystej liczby ma postać \((2k+1)^2=2(2k^2+2k)+1\). Możemy więc wnioskować, że jeśli kwadrat liczby całkowitej jest parzysty, sama liczba też musi być parzysta: nieparzysta dawałaby nieparzysty kwadrat. Przy dowodzie sprawdzaj, czy rozpatrzyłeś wszystkie dopuszczalne przypadki.