Wzory skróconego mnożenia pozwalają w dowodach rozwijać nawiasy, rozkładać wyrażenia na czynniki i ujawniać kwadraty. Dobieramy kierunek przekształcenia do tego, co chcemy wykazać.
Pojęcia, od których zaczynamy
Kwadrat sumy to mnożenie całego nawiasu przez taki sam nawias. W iloczynie \((a+b)(a+b)\) powstają składniki \(a^2,ab,ab,b^2\). Dwa środkowe dają \(2ab\); nie wolno ich pominąć. W kwadracie różnicy środkowy składnik jest ujemny, ale ostatni kwadrat pozostaje dodatni.
Różnica kwadratów jest innym wzorem: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Można przechodzić w obie strony. Rozwinięcie pomaga porównać sumy, a rozkład ujawnia czynniki przy podzielności. Litery mogą oznaczać również całe wyrażenia, np. w \((2x+3)^2\) pierwszym składnikiem jest \(2x\).
Zasada i zapis
Wzory obowiązują dla wszystkich rzeczywistych a i b. Znak przed całym nawiasem trzeba zastosować do wszystkich jego składników.
Jak czytać rysunek?
Kwadrat o boku a+b podzielono na cztery części: kwadrat o polu a², dwa prostokąty o polu ab oraz kwadrat o polu b². Rysunek uzasadnia składnik podwojony dla dodatnich długości. Dla dowolnych liczb rzeczywistych wzór wynika z wymnożenia nawiasów.
Przykład krok po kroku
Udowodnij tożsamość \((x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)\) dla rzeczywistych x i y.
- Rozwiń oba kwadraty z właściwymi znakami składników mieszanych.\((x+y)^2+(x-y)^2=x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2\)
- Zredukuj przeciwne składniki mieszane i dodaj jednakowe kwadraty.\(2x^2+2y^2\)
- Wyłącz wspólną dwójkę i rozpoznaj prawą stronę tezy.\(2(x^2+y^2)\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
Uzupełnianie do kwadratu pomaga wykazać dodatniość: \(x^2+6x+10=(x+3)^2+1\). Kwadrat jest nieujemny, więc całe wyrażenie jest co najmniej równe jeden; minimum osiąga dla \(x=-3\). Najpierw dobieramy połowę współczynnika przy x, a następnie korygujemy wyraz stały.
W podzielności przydatne jest \(n^2-1=(n-1)(n+1)\). Jeśli n jest nieparzyste, oba czynniki są parzyste, więc ich iloczyn jest podzielny przez cztery. Nie wyciągamy tego wniosku dla dowolnego n bez założenia o parzystości. Kontroluj, czy użyta własność wynika z warunków zadania.