Dowód nierówności wykazuje jej prawdziwość dla wszystkich wartości spełniających założenia. Wygodną metodą jest odjęcie prawej strony od lewej i pokazanie, że wynik ma właściwy znak.
Pojęcia, od których zaczynamy
Jeżeli chcemy wykazać \(L\ge P\), wystarczy uzasadnić \(L-P\ge0\). Nie szukamy tylko pojedynczych rozwiązań. Argument powinien obejmować cały wskazany zbiór, np. wszystkie liczby rzeczywiste albo wszystkie dodatnie.
Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny. Zatem wyrażenie zapisane jako kwadrat albo suma nieujemnych składników ma kontrolowany znak. „Nieujemny” obejmuje zero, a „dodatni” nie. W dowodzie trzeba zachować tę różnicę, zwłaszcza przy ustalaniu przypadku równości.
Zasada i zapis
To schemat metody różnicy stron. Równość zachodzi wtedy, gdy kwadrat znika, czyli dla x równego a.
Jak czytać rysunek?
Wykres pokazuje kwadrat \((x-2)^2\). Cały leży na osi poziomej lub nad nią i dotyka osi tylko przy x równym dwa. Jest ilustracją znaku kwadratu; ogólny dowód opiera się na jego nieujemności, nie na dokładności rysunku.
Przykład krok po kroku
Udowodnij \(x^2+4\ge4x\) dla każdego rzeczywistego x i wskaż przypadek równości.
- Odejmij prawą stronę od lewej.\(L-P=x^2+4-4x\)
- Uporządkuj składniki i rozpoznaj kwadrat różnicy.\(x^2-4x+4=(x-2)^2\ge0\)
- Nieujemna różnica kończy dowód. Sprawdź, kiedy jest zerem.\((x-2)^2=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=2\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
Dla \(x\gt0\) mamy \(x+\frac1x-2=\frac{(x-1)^2}{x}\ge0\). Licznik jest nieujemny, a mianownik dodatni. Równość zachodzi dla \(x=1\). Założenie dodatniości jest niezbędne: dla \(x=-1\) suma \(x+\frac1x=-2\) nie jest co najmniej równa dwa.
Nie podnoś nierówności do kwadratu bez kontroli znaków. Z \(-3\lt2\) nie wynika \(9\lt4\). Jeśli obie strony są nieujemne, kwadratowanie zachowuje porządek; w innych sytuacjach potrzebna jest dodatkowa analiza. Kończ dowód powrotem do dokładnej tezy i, gdy wymagane, warunku równości.