Dowód geometryczny jest łańcuchem wniosków opartych na danych, definicjach i twierdzeniach. Rysunek pomaga wskazać elementy figury, lecz sam wygląd nie uzasadnia ich równości, równoległości ani prostopadłości.
Pojęcia, od których zaczynamy
Zapisz, co wiadomo, a co trzeba udowodnić. Jeśli dane mówią „prostokąt”, wolno użyć kątów prostych i równych przeciwległych boków. Nie wolno przyjąć równości przekątnych jako argumentu, jeśli właśnie ją mamy wykazać.
Dodatkowa linia na rysunku może ujawnić trójkąty, do których zastosujemy znane twierdzenie. Zanim użyjesz Pitagorasa, wskaż kąt prosty. Zanim użyjesz przystawania, wymień równe boki lub kąty i nazwij cechę. Podobieństwo daje proporcje boków, a nie automatycznie równe długości.
Zasada i zapis
W prostokącie obie przekątne są przeciwprostokątnymi trójkątów o tych samych długościach przyprostokątnych a i b.
Jak czytać rysunek?
W prostokącie ABCD przekątne to AC i BD. Dla AC używamy trójkąta ABC z kątem prostym przy B. Dla BD trójkąta BAD z kątem prostym przy A. Oba mają przyprostokątne długości a oraz b. Nie zakładamy, że przekątne są prostopadłe.
Przykład krok po kroku
Udowodnij, że przekątne dowolnego prostokąta mają równe długości.
- Oznacz dodatnie długości boków przez a i b. Zastosuj Pitagorasa do trójkąta ABC.\(AC^2=a^2+b^2\)
- Zastosuj to samo twierdzenie do trójkąta BAD, korzystając z równych przeciwległych boków.\(BD^2=a^2+b^2\)
- Kwadraty długości są równe, a długości dodatnie, więc same długości są równe.\(AC^2=BD^2\quad\Longrightarrow\quad AC=BD\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
Przystawanie oznacza zgodność odpowiednich boków i kątów. W cesze BKB równy kąt musi leżeć między wskazanymi równymi bokami. Samo stwierdzenie „dwa boki i jakiś kąt” nie wystarcza. Przy podobieństwie najpierw ustal odpowiadające wierzchołki, żeby poprawnie zestawić proporcje.
W dowodach kątowych podawaj źródło każdej równości: kąty wierzchołkowe, naprzemianległe przy równoległych prostych albo kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego. Gdy dorysowujesz wysokość, nazwij jej spodek i zaznacz wynikającą z konstrukcji prostopadłość. Ostatni wniosek musi dotyczyć dokładnie obiektów z tezy.