Uzasadnienie własności figury polega na wykazaniu, że dane spełniają właściwą definicję lub warunek wystarczający. Trzeba rozróżnić własność danej figury od warunku, który pozwala ją jednoznacznie rozpoznać.
Pojęcia, od których zaczynamy
Równoległobok ma dwie pary równoległych przeciwległych boków. Prostokąt jest równoległobokiem z kątem prostym, a romb ma wszystkie boki równe. Kwadrat spełnia jednocześnie warunki prostokąta i rombu. Nazwy figur nie muszą się wykluczać.
Z faktu, że każdy prostokąt ma równe przekątne, nie wynika, że każdy czworokąt o równych przekątnych jest prostokątem. Równe przekątne ma też niebędący prostokątem trapez równoramienny. Odwrotne twierdzenie wymaga dodatkowego warunku, np. że figura już jest równoległobokiem.
Zasada i zapis
To własność przekątnych równoległoboku ABCD przecinających się w S: każda jest dzielona na połowy. Nie oznacza to równości wszystkich czterech odcinków.
Jak czytać rysunek?
Zaznaczono trójkąty ABS i CDS po przeciwnych stronach punktu przecięcia przekątnych. Równoległość AB i CD daje odpowiednie kąty naprzemianległe, a boki AB i CD są równe. Wierzchołkowi A odpowiada C, B odpowiada D, a S odpowiada S.
Przykład krok po kroku
Udowodnij, że przekątne równoległoboku dzielą się wzajemnie na połowy. Korzystamy ze znanej własności równych przeciwległych boków.
- Wskaż równe przeciwległe boki równoległoboku.\(AB=CD\)
- Równoległe AB i CD przecięte przekątnymi dają dwie pary kątów naprzemianległych.\(\angle BAS=\angle DCS,\qquad\angle ABS=\angle CDS\)
- Równy bok leży między tymi kątami. Z cechy KBK trójkąty są przystające.\(\triangle ABS\cong\triangle CDS\)
- Odczytaj równe odpowiednie boki obu trójkątów.\(AS=SC,\qquad BS=SD\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
Aby wykazać, że znany równoległobok jest prostokątem, wystarczy np. udowodnić jeden kąt prosty albo równość przekątnych. Aby wykazać, że prostokąt jest kwadratem, wystarczy równość jego sąsiednich boków. Wniosek zależy od wszystkich założeń, nie od pojedynczej zapamiętanej własności.
W okręgu wszystkie promienie są równe z definicji stałej odległości od środka. Samo położenie punktu wewnątrz koła nie wystarcza jednak, by odcinek od środka był promieniem. W każdym uzasadnieniu wskaż, które obiekty spełniają definicję i dlaczego wolno użyć danego twierdzenia.