Uzasadnianie własności figur

Wyobraź sobie składany model z patyczków i zawiasów. Niektóre elementy mogą się poruszać, ale inne zależności pozostają niezmienne: przeciwległe boki równoległoboku są równoległe, promienie okręgu mają tę samą długość, a przekątne prostokąta są równe. Uzasadnienie pokazuje, skąd bierze się ta stałość.

Konkret: definicja jest punktem startu

• Kwadrat ma cztery równe boki i cztery kąty proste.
• Prostokąt ma cztery kąty proste.
• Romb ma cztery równe boki.
• Równoległobok ma dwie pary boków równoległych.
• Trapez ma co najmniej jedną parę boków równoległych.
• Okrąg jest zbiorem punktów równo odległych od środka.

Reprezentacja: jak uzasadniać własności?

• Odwołuj się do definicji figury.
• Wykorzystuj kąty powstałe przy prostych równoległych.
• Szukaj trójkątów przystających lub podobnych.
• Korzystaj z symetrii osiowej lub środkowej.
• Łącz długości przez twierdzenie Pitagorasa.
• W okręgu używaj równości promieni.

Abstrakcja: schemat poprawnego uzasadnienia

• Zapisz, co jest dane.
• Wskaż własność, którą chcesz wykazać.
• Znajdź definicję lub twierdzenie łączące dane z tezą.
• Rozbij rozumowanie na krótkie kroki.
• Uzasadnij każdy krok.
• Zakończ jednoznacznym wnioskiem.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim F-I-G-U-R-A: Fakty wypisz, Istotną definicję znajdź, Geometryczne twierdzenie dobierz, Uzasadnij kroki, Rysunek sprawdź, A teraz zapisz wniosek. W pałacu pamięci każda figura mieszka w osobnym pokoju: kwadrat pilnuje czterech identycznych mieczy-boków, prostokąt ma cztery świecące kąty proste, a równoległobok prowadzi dwa tory kolejowe, które nigdy się nie przecinają.

Przykład krok po kroku: przeciwległe boki równoległoboku

Uzasadnij, że przeciwległe boki równoległoboku są równe.

• Niech ABCD będzie równoległobokiem.
• Rysujemy przekątną AC.
• Ponieważ AB∥CD i AD∥BC, odpowiednie kąty w trójkątach ABC i CDA są równe.
• Odcinek AC jest wspólny.
• Trójkąty ABC i CDA są przystające.
• Zatem AB=CD oraz BC=AD.

Przykład krok po kroku: przekątne prostokąta

Uzasadnij, że przekątne prostokąta są równe.

• Niech ABCD będzie prostokątem.
• Rozpatrujemy trójkąty ABC i BAD.
• Mają wspólny bok AB.
• W prostokącie BC=AD, bo przeciwległe boki są równe.
• Kąty ABC i BAD są proste.
• Trójkąty są przystające.
• Zatem AC=BD.

Przykład krok po kroku: przekątne rombu

Uzasadnij, że przekątne rombu są prostopadłe.

• Niech przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O.
• W rombie wszystkie boki są równe.
• W równoległoboku przekątne dzielą się na połowy, więc BO=OD.
• Trójkąty ABO i ADO mają AB=AD, BO=OD oraz AO wspólny.
• Są przystające.
• Kąty AOB i AOD są równe i przyległe.
• Każdy ma 90°, więc przekątne są prostopadłe.

Przykład krok po kroku: kwadrat jako prostokąt i romb

Uzasadnij, że przekątne kwadratu są równe i prostopadłe.

• Kwadrat ma cztery kąty proste, więc jest prostokątem.
• Z własności prostokąta jego przekątne są równe.
• Kwadrat ma cztery równe boki, więc jest rombem.
• Z własności rombu jego przekątne są prostopadłe.
• Zatem przekątne kwadratu są jednocześnie równe i prostopadłe.

Przykład krok po kroku: promienie okręgu

Uzasadnij, że dwa promienie tego samego okręgu są równe.

• Niech O będzie środkiem okręgu, a A i B punktami okręgu.
• Z definicji okręgu każdy jego punkt jest w tej samej odległości od środka.
• OA i OB są promieniami tego samego okręgu.
• Zatem OA=OB.

Najczęstsze błędy

• Wnioskowanie z samego wyglądu rysunku.
• Używanie własności figury, której jeszcze nie udowodniono.
• Mylenie definicji z własnością dodatkową.
• Zakładanie, że każdy trapez jest równoramienny.
• Zakładanie, że przekątne każdego równoległoboku są równe.
• Brak wskazania twierdzenia lub definicji.

Kontrola uzasadnienia

• Czy zaczynam od danych?
• Czy korzystam z poprawnej definicji?
• Czy każde użyte twierdzenie ma spełnione warunki?
• Czy nie zakładam tezy przed jej udowodnieniem?
• Czy wniosek dokładnie odpowiada pytaniu?

Najczęstsze pytania