Pełne rozwiązanie zadania na dowodzenie wskazuje założenia, tezę, uzasadnione kroki i końcowy wniosek. Czytelnik powinien rozumieć nie tylko wykonany rachunek, ale też powód, dla którego dowodzi on żądanej własności.
Pojęcia, od których zaczynamy
Założenie jest informacją dostępną od początku. Teza jest zdaniem, które dopiero uzasadniamy. Jeśli teza mówi o dowolnych liczbach całkowitych, nie zastępuj ich jedną wybraną parą. Zdefiniuj litery i ich dziedzinę: ten zapis jest częścią argumentu, nie ozdobą.
W brudnopisie można przekształcać tezę, szukając pomysłu. W gotowym dowodzie pokaż jednak poprawny kierunek wnioskowania albo wyraźny ciąg równoważności zakończony znanym faktem. Nie zakładaj prawdziwości tezy po to, by ją potwierdzić; to błędne koło.
Zasada i zapis
Każdy nowy symbol trzeba wyjaśnić. Najważniejsze przejścia opieramy na definicjach, regułach rachunku lub wskazanych twierdzeniach.
Jak czytać rysunek?
Schemat rozdziela trzy zadania autora: zapisać dowolne liczby parzyste, wykonać rachunek, a potem wyjaśnić całkowitość czynnika. Samo ostatnie równanie byłoby niepełne bez odniesienia do definicji parzystości.
Przykład krok po kroku
Zapisz pełny dowód, że suma dwóch liczb parzystych jest parzysta.
- Niech a i b będą dowolnymi parzystymi liczbami całkowitymi. Z definicji można wprowadzić całkowite k i m.\(a=2k,\quad b=2m,\quad k,m\in\mathbb Z\)
- Dodaj liczby i wyłącz wspólny czynnik.\(a+b=2k+2m=2(k+m)\)
- Suma całkowitych parametrów jest całkowita, więc wynik jest wielokrotnością dwójki. To dokładnie teza.\(k+m\in\mathbb Z\quad\Longrightarrow\quad2\mid(a+b)\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
W geometrii po zdaniu „kąty są równe” wskaż uzasadnienie, np. naprzemianległość przy prostych równoległych. W algebrze przed dzieleniem wyklucz zero w mianowniku. Jeśli zadanie wymaga dowodu dla wszystkich liczb, przypadek zerowy nie może zniknąć tylko dlatego, że utrudnia wybraną metodę.
Sprawdź cztery rzeczy: czy oznaczenia są zdefiniowane, czy nie użyto tezy jako faktu, czy objęto wszystkie przypadki i czy końcowy wniosek odpowiada poleceniu. Zwrot „co należało dowieść” jest opcjonalny i nie zastępuje argumentu. Krótki pełny dowód jest lepszy od długiego rachunku bez logicznego połączenia.