Szybki wybór działu
Wyrażenia algebraiczne Liczby rzeczywiste Równania i nierówności Funkcje Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej Ciągi Planimetria Trygonometria Elementy statystyki opisowej Figury płaskie Bryły Stereometria Rachunek różniczkowyWyszukiwanie zaawansowane
Zadanie 14 (6 pkt) 2021, NF, R Funkcje
Trudne (19%)
Dane są parabola o równaniu
oraz punkty 
i 
(zobacz rysunek). 
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty 
, których wierzchołek 
leży na tej paraboli. Niech 
oznacza pierwszą współrzędną punktu .Wyznacz pole 
trójkąta 
jako funkcję zmiennej .Wyznacz wszystkie wartości , dla których trójkąt jest ostrokątny.
Zadanie 7 (3 pkt) 2020, NF, R Planimetria
Trudne (19%)
Dany jest trójkąt równoramienny
, w którym 
, a punkt 
jest środkiem podstawy 
. Okrąg o środku jest styczny do prostej 
w punkcie 
. Punkt 
leży na boku , punkt 
leży na boku 
, odcinek 
jest styczny do rozważanego okręgu oraz 
(zobacz rysunek). 
Wykaż, że 
.
jest środkiem symetrii wykresu funkcji homograficznej określonej wzorem 
, gdy 
. Oblicz iloraz 
.
punkty 
oraz 
są końcami przekątnej. Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną 
tego kwadratu.Rozwiązanie zadania
w przedziale 
.
leży na wysokości 
tego trójkąta oraz 
. Punkt 
leży na boku 
jest prostopadły do 
.
. Okrąg wpisany w trójkąt 
jest styczny do przekątnej 
w punkcie 
. Okrąg wpisany w trójkąt 
jest styczny do boku 
w punkcie 
, a środek 
tego okręgu leży na odcinku 
, jak na rysunku. 
Wykaż, że 
.
i 
są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta 
wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu 
jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną 
. Oblicz współrzędne wierzchołków 
i 
tego czworokąta.
Zadanie 15 (7 pkt) 2018, NF, R Planimetria
Trudne (14%)
Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy
i wysokości trapezu jest równa 2.Wyznacz wszystkie wartości , dla których istnieje trapez o podanych własnościach.Wykaż, że obwód 
takiego trapezu, jako funkcja długości dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem 
Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.
. Odcinki 
przecinają się w punkcie 
Wykaż, że pole trójkąta 
jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta