Szybki wybór działu
Wyrażenia algebraiczne Liczby rzeczywiste Równania i nierówności Funkcje Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej Ciągi Planimetria Trygonometria Elementy statystyki opisowej Figury płaskie Bryły Stereometria Rachunek różniczkowyWyszukiwanie zaawansowane
Zadanie 9 (4 pkt) 2017, NF, R Stereometria
Trudne (12%)
W czworościanie, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość 6, umieszczono kulę tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu. Płaszczyzna
, równoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na dwie bryły: ostrosłup o objętości równej 
objętości dzielonego czworościanu i ostrosłup ścięty. Oblicz odległość środka 
kuli od płaszczyzny , tj. długość najkrótszego spośród odcinków 
, gdzie 
jest punktem płaszczyzny .
bok 
ma długość 
, długość boku 
jest równa 
oraz 
. Dwusieczna kąta 
przecina bok 
trójkąta w punkcie 
. Wykaż, że długość odcinka 
jest równa 
.
Zadanie 8 (3 pkt) 2022, NF, R Planimetria
Trudne (10%)
Punkt
jest punktem przecięcia przekątnych trapezu 
. Długość podstawy 
jest o 2 mniejsza od długości podstawy 
. Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym 
jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie 
. Wykaż, że spełniony jest warunek 
.
jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego 
. Obie współrzędne wierzchołka 
są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt 
. Oblicz współrzędne wierzchołków 
i 
i dla każdej liczby rzeczywistej 
prawdziwa jest nierówność 
i dla każdej liczby całkowitej 
liczba 
jest podzielna przez 6.
, dla których równanie 
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 
spełniające warunek 
.
Zadanie 16 (7 pkt) 2023, NF, R Rachunek różniczkowy
Rozważamy trójkąty
, w których 
, gdzie 
, a wierzchołek 
leży na prostej o równaniu 
. Na boku 
tego trójkąta leży punkt 
.Wykaż, że dla 
pole trójkąta 
, jako funkcja zmiennej 
, wyraża się wzorem 
Oblicz tę wartość , dla której funkcja osiąga wartość najmniejszą. Wyznacz równanie prostej , przy której funkcja osiąga tę najmniejszą wartość.