Zadania finansowe w matematyce opisują zmiany kwot według podanych reguł procentowych. Trzeba odróżnić kapitał, odsetki, sumę spłat i koszt oraz ustalić okres, którego dotyczy stopa.
Pojęcia, od których zaczynamy
Kapitał początkowy jest kwotą na starcie. Odsetki to przyrost wynikający z oprocentowania. Kapitalizacja oznacza dopisanie odsetek do kapitału, od którego liczone są kolejne odsetki. Przy procencie prostym podstawą pozostaje początkowa kwota, a przy składanym rośnie ona po każdym okresie.
Stopa cztery procent to w zapisie dziesiętnym \(0{,}04\), nie cztery. Liczba okresów musi pasować do stopy: stopa roczna przy kapitalizacji rocznej wymaga liczby lat. W przykładach używamy wyłącznie podanych modeli, bez podatku, opłat, wpłat i wypłat, chyba że polecenie je wymienia.
Zasada i zapis
K₀ to kapitał początkowy, r stopa na jeden okres zapisana dziesiętnie, n liczba okresów. W obu modelach reguła naliczania musi być określona w treści.
Jak czytać rysunek?
Na osi czasu zaznaczono początek, koniec pierwszego i koniec drugiego roku. W pierwszym roku odsetki wynoszą dwieście złotych, a w drugim dwieście osiem, ponieważ podstawą jest już pięć tysięcy dwieście. Rysunek pokazuje skutek kapitalizacji.
Przykład krok po kroku
Kapitał pięć tysięcy złotych rośnie przez dwa lata o cztery procent rocznie z roczną kapitalizacją, bez podatku i opłat. Oblicz końcową kwotę i odsetki.
- Po pierwszym roku pomnóż początkową kwotę przez współczynnik wzrostu.\(K_1=5000\cdot1{,}04=5200\)
- W drugim roku odsetki naliczamy od nowego kapitału.\(K_2=5200\cdot1{,}04=5408\)
- Odejmij kapitał początkowy, aby uzyskać same odsetki.\(5408-5000=408\text{ zł}\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
W procencie prostym te same dane dałyby \(5000(1+2\cdot0{,}04)=5400\), czyli czterysta złotych odsetek. Różnica ośmiu złotych w modelu składanym pochodzi z odsetek od pierwszorocznych odsetek.
Jeśli otrzymano pięć tysięcy złotych, a jedyne spłaty to dwanaście rat po czterysta sześćdziesiąt, łącznie oddano \(12\cdot460=5520\), a koszt wynosi \(5520-5000=520\). Dodatkowe opłaty uwzględnij tylko raz, zgodnie z opisem. Narzut liczony od kosztu i marża liczona od ceny sprzedaży mają różne podstawy: przy koszcie osiemdziesiąt i cenie sto zysk dwadzieścia to \(25\%\) kosztu, ale \(20\%\) ceny.