Zadanie optymalizacyjne polega na znalezieniu największej lub najmniejszej dopuszczalnej wartości. Potrzebujemy funkcji celu oraz dziedziny wynikającej z warunków zadania.
Pojęcia, od których zaczynamy
Funkcja celu opisuje wielkość, którą optymalizujemy, np. pole, koszt lub zysk. Zmienna jest wielkością, którą można wybierać, np. długością boku. Nie są to te same rzeczy: pytanie o bok da odpowiedź w metrach, a pytanie o maksymalne pole w metrach kwadratowych.
Najpierw wyraź wszystkie potrzebne wielkości przez jedną zmienną. Ograniczenie, takie jak stały obwód, łączy boki i pozwala usunąć drugi niezależny parametr. Dziedzina wyklucza ujemne długości, niedopuszczalne pojemności lub ułamkowe liczby obiektów. Sam poprawny rachunek poza dziedziną nie rozwiązuje zadania.
Zasada i zapis
Dla ujemnego a maksimum całej paraboli wynosi q przy x=p, a dla dodatniego a mamy minimum. W zadaniu trzeba sprawdzić, czy ten argument jest dopuszczalny.
Jak czytać rysunek?
Wykres pola prostokąta o obwodzie czterdzieści metrów rośnie do boku dziesięć metrów, a potem maleje. Otwarte punkty przy zerze i dwudziestu oznaczają wykluczone zerowe długości boków. Wierzchołek odpowiada kwadratowi.
Przykład krok po kroku
Który prostokąt o obwodzie czterdzieści metrów ma największe pole?
- Oznacz boki przez x i y. Z obwodu wyznacz drugi bok.\(2x+2y=40,\quad y=20-x,\quad0\lt x\lt20\)
- Zapisz pole jako iloczyn boków i przekształć do postaci z kwadratem.\(P(x)=x(20-x)=-x^2+20x=100-(x-10)^2\)
- Odejmowany kwadrat jest nieujemny, więc pole nie przekracza stu. Równość jest możliwa w dziedzinie.\(x=10,\quad y=10,\quad P_{\max}=100\text{ m}^2\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
Dla \(f(x)=-x^2+6x+1\) na \([0,2]\) wierzchołek jest przy trójce, poza dziedziną. Na tym przedziale funkcja rośnie i maksimum wynosi \(f(2)=9\). Nie wolno podać wartości z niedopuszczalnego argumentu.
Jeśli funkcja celu jest kwadratowa i ma maksimum przy \(7{,}5\), a dopuszczalne są całkowite argumenty, sprawdź najbliższe dopuszczalne liczby po obu stronach wierzchołka. Nie zaokrąglaj bez obliczenia wartości celu. Na przedziale otwartym skrajna wartość może w ogóle nie być osiągana, więc nie każdy problem ma maksimum i minimum.