Zadania optymalizacyjne

Wyobraź sobie, że masz ograniczoną ilość siatki i chcesz ogrodzić jak największy wybieg albo zaprojektować pudełko mieszczące jak najwięcej produktu. Optymalizacja polega na znalezieniu najlepszego rozwiązania spośród wszystkich dopuszczalnych.

Konkret: najlepszy wybór przy ograniczeniach

• Najpierw ustalamy, co ma być największe albo najmniejsze.
• Następnie zapisujemy warunek ograniczający, na przykład stały obwód, koszt lub ilość materiału.
• Z ograniczenia wyznaczamy jedną zmienną za pomocą drugiej.
• Tworzymy funkcję opisującą szukaną wielkość.
• Na końcu badamy, gdzie funkcja osiąga maksimum lub minimum.

Reprezentacja: mapa zadania optymalizacyjnego

• Cel: wielkość, którą optymalizujemy.
• Ograniczenie: warunek, którego nie wolno naruszyć.
• Zmienna: parametr opisujący możliwe rozwiązania.
• Dziedzina: wartości dopuszczalne w realnym zadaniu.
• Funkcja celu: wzór zależny od jednej zmiennej.

Abstrakcja: optymalizacja funkcji kwadratowej

• Dla funkcji f(x)=ax²+bx+c ekstremum znajduje się w wierzchołku paraboli.
• Współrzędna x wierzchołka: x_w=−b/(2a).
• Gdy a<0, parabola jest skierowana w dół i wierzchołek daje maksimum.
• Gdy a>0, parabola jest skierowana w górę i wierzchołek daje minimum.
• W zadaniu praktycznym trzeba sprawdzić, czy x_w należy do dziedziny.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim O-P-T-Y-M-A: Określ cel, Pisz ograniczenie, Twórz funkcję, Yznacz dziedzinę, Maksimum lub minimum znajdź, Analizuj sens wyniku. W pałacu pamięci stoisz w centrum ogromnej paraboli jak w skateparku. Jeśli ramiona lecą w dół, wspinasz się na najwyższy punkt; jeśli w górę, zjeżdżasz do najniższego. Obok stoi strażnik dziedziny i nie wpuszcza liczb niemożliwych, na przykład ujemnej długości boku.

Przykład krok po kroku: największe pole prostokąta

Prostokąt ma obwód 40 cm. Jakie wymiary dają największe pole?

• Niech jeden bok ma długość x.
• Z warunku 2x+2y=40 otrzymujemy y=20−x.
• Pole: P(x)=x(20−x)=−x²+20x.
• Dziedzina: 0<x<20.
• Wierzchołek: x_w=−20/(2·(−1))=10.
• Wtedy y=20−10=10.
• Maksymalne pole: 10·10=100 cm².
• Odpowiedź: największe pole ma kwadrat o boku 10 cm.

Przykład krok po kroku: największe pole wybiegu przy ścianie

Do ogrodzenia trzech boków prostokątnego wybiegu przy ścianie użyto 60 m siatki. Jakie wymiary maksymalizują pole?

• Niech szerokość prostopadła do ściany wynosi x.
• Dwa takie boki i jeden bok równoległy spełniają 2x+y=60.
• Stąd y=60−2x.
• Pole: P(x)=x(60−2x)=−2x²+60x.
• Dziedzina: 0<x<30.
• x_w=−60/(2·(−2))=15.
• y=60−2·15=30.
• Maksymalne pole: 15·30=450 m².

Przykład krok po kroku: minimalny koszt

Koszt produkcji opisuje funkcja K(x)=x²−12x+50. Dla jakiej wartości x koszt jest najmniejszy?

• Współczynnik a=1>0, więc parabola jest skierowana w górę.
• Minimum znajduje się w wierzchołku.
• x_w=−(−12)/(2·1)=6.
• K(6)=36−72+50=14.
• Odpowiedź: najmniejszy koszt wynosi 14 dla x=6.

Przykład krok po kroku: największy zysk

Zysk firmy opisuje funkcja Z(x)=−2x²+80x−300. Dla jakiej sprzedaży zysk jest największy?

• a=−2<0, więc funkcja ma maksimum.
• x_w=−80/(2·(−2))=20.
• Z(20)=−2·400+1600−300=500.
• Odpowiedź: największy zysk wynosi 500 przy sprzedaży 20 jednostek.

Przykład krok po kroku: optymalizacja na przedziale

Funkcja f(x)=−x²+6x+1 jest rozpatrywana dla x należącego do przedziału od 0 do 2. Gdzie przyjmuje największą wartość?

• Wierzchołek ma współrzędną x=3.
• Liczba 3 nie należy do przedziału od 0 do 2.
• Sprawdzamy końce przedziału.
• f(0)=1, a f(2)=−4+12+1=9.
• Największa wartość na tym przedziale wynosi 9 dla x=2.

Najczęstsze błędy

• Optymalizowanie niewłaściwej wielkości.
• Brak zapisania ograniczenia.
• Pozostawienie funkcji z dwiema zmiennymi.
• Pomijanie dziedziny wynikającej z treści.
• Automatyczne przyjmowanie wierzchołka bez sprawdzenia przedziału.
• Podanie wartości x zamiast szukanej największej lub najmniejszej wielkości.

Kontrola rozwiązania

• Czy jasno określiłem cel?
• Czy wykorzystałem wszystkie ograniczenia z treści?
• Czy funkcja celu zależy od jednej zmiennej?
• Czy wyznaczyłem poprawną dziedzinę?
• Czy sprawdziłem wierzchołek i ewentualnie końce przedziału?
• Czy odpowiedź ma sens w kontekście zadania?

Najczęstsze pytania