Zadania z funkcją liniową

Wyobraź sobie taksówkę, która pobiera stałą opłatę początkową, a potem dolicza jednakową kwotę za każdy kilometr. Taki model prowadzi prosto do funkcji liniowej, w której jedna liczba mówi o starcie, a druga o stałym tempie zmiany.

Konkret: start i jednakowe przyrosty

• Wartość początkowa opisuje stan dla x=0.
• Stały przyrost mówi, o ile zmienia się wynik po zwiększeniu x o 1.
• Rosnąca sytuacja ma dodatnie tempo zmiany.
• Malejąca sytuacja ma ujemne tempo zmiany.
• Każdej wartości x odpowiada jedna wartość y.

Reprezentacja: tabela, wykres i opis

• Tabela pokazuje kolejne pary wartości x i y.
• Na wykresie punkty funkcji liniowej leżą na jednej prostej.
• Współczynnik kierunkowy a opisuje zmianę y przy wzroście x o 1.
• Wyraz wolny b opisuje wartość funkcji dla x=0.
• Wzór ma postać f(x)=ax+b.

Abstrakcja: najważniejsze zależności

• Jeśli znamy punkt przecięcia z osią y, znamy b.
• Jeśli znamy dwa punkty, to a=(y₂−y₁)/(x₂−x₁).
• Po wyznaczeniu a podstawiamy współrzędne punktu do y=ax+b i obliczamy b.
• Miejsce zerowe spełnia równanie ax+b=0.
• Dla a≠0 miejsce zerowe wynosi x=−b/a.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim L-I-N-I-A: Licz start, Identyfikuj zmianę, Napisz wzór, Interpretuj współczynniki, Analizuj wynik. W pałacu pamięci ogromna prosta jedzie po schodach. Litera b siedzi na pierwszym stopniu przy osi y, a litera a pcha ją w górę albo w dół o zawsze taką samą wysokość. Dodatnie a to rakieta wznosząca prostą, ujemne a to zjeżdżalnia.

Przykład krok po kroku: koszt taksówki

Taksówka pobiera 8 zł opłaty początkowej i 3 zł za każdy kilometr. Zapisz funkcję kosztu i oblicz cenę przejazdu 7 km.

• Wartość początkowa: b=8.
• Tempo zmiany: a=3 zł za kilometr.
• Funkcja: K(x)=3x+8.
• K(7)=3·7+8=29.
• Odpowiedź: przejazd kosztuje 29 zł.

Przykład krok po kroku: wyznaczanie wzoru z dwóch punktów

Wykres funkcji przechodzi przez punkty A(2,7) i B(6,15). Wyznacz wzór.

• a=(15−7)/(6−2)=8/4=2.
• Podstawiamy punkt A: 7=2·2+b.
• 7=4+b, więc b=3.
• Wzór: f(x)=2x+3.
• Sprawdzenie dla B: 2·6+3=15.

Przykład krok po kroku: miejsce zerowe

Wyznacz miejsce zerowe funkcji f(x)=4x−12.

• Rozwiązujemy 4x−12=0.
• 4x=12.
• x=3.
• Sprawdzenie: f(3)=12−12=0.

Przykład krok po kroku: porównanie dwóch ofert

Oferta A kosztuje 20 zł opłaty stałej i 2 zł za jednostkę. Oferta B kosztuje 5 zł opłaty stałej i 5 zł za jednostkę. Dla jakiej liczby jednostek ceny są równe?

• A(x)=2x+20.
• B(x)=5x+5.
• Równanie: 2x+20=5x+5.
• 15=3x, więc x=5.
• Wspólna cena: 2·5+20=30 zł.

Przykład krok po kroku: funkcja malejąca

W zbiorniku jest 100 litrów wody, a co minutę ubywa 4 litry. Zapisz funkcję i oblicz, po ilu minutach zbiornik będzie pusty.

• Wartość początkowa: b=100.
• Tempo zmiany: a=−4.
• Funkcja: V(t)=−4t+100.
• Warunek pustego zbiornika: −4t+100=0.
• t=25 minut.

Najczęstsze błędy

• Mylenie współczynnika a z wyrazem wolnym b.
• Brak jednostek przy interpretacji współczynników.
• Zły znak współczynnika w sytuacji malejącej.
• Niepoprawna kolejność odejmowania przy liczeniu a.
• Podstawienie współrzędnej x zamiast y do równania.
• Brak sprawdzenia, czy wynik jest dopuszczalny w treści zadania.

Kontrola rozwiązania

• Czy b zgadza się z wartością dla x=0?
• Czy a opisuje zmianę na jedną jednostkę x?
• Czy znak a pasuje do wzrostu lub spadku?
• Czy funkcja przechodzi przez podane punkty?
• Czy wynik ma poprawną jednostkę i sens praktyczny?

Najczęstsze pytania