Funkcja liniowa opisuje stałą zmianę wartości przy jednostkowej zmianie argumentu. W zadaniach tekstowych oddzielamy część zależną od argumentu od stałej wartości początkowej.
Pojęcia, od których zaczynamy
Koszt trzy złote za kilometr oznacza, że każdy dodatkowy kilometr zwiększa cenę o trzy złote. Opłata początkowa osiem złotych nie zależy od długości trasy. Nie dodajemy ich do jednej stawki za kilometr, bo mają różne znaczenie i jednostki.
W modelu \(f(x)=ax+b\) współczynnik a opisuje tempo zmiany, a b wartość dla zera, jeśli zero należy do modelu. Dziedzina wynika z treści: liczba usług bywa całkowita, długość drogi może być nieujemna rzeczywista. Rysunek ciągłej prostej nie sprawia, że wolno kupić ułamkową liczbę niepodzielnych usług.
Zasada i zapis
Iloraz zmian wyznacza a z dwóch punktów. Gdy x mierzymy w kilometrach, a koszt w złotych, jednostką a jest złoty na kilometr.
Jak czytać rysunek?
Dwie proste kosztu przecinają się przy sześciu usługach i cenie dwadzieścia dwa. Oferta A zaczyna wyżej, ale rośnie wolniej. Punkt przecięcia jest granicą porównania, a nie informacją, że jedna oferta zawsze jest tańsza.
Przykład krok po kroku
Porównaj koszty \(A(x)=2x+10\) i \(B(x)=3x+4\) dla nieujemnej liczby usług x.
- Wyznacz punkt, w którym koszty są równe.\(2x+10=3x+4\quad\Longrightarrow\quad x=6\)
- Oblicz wspólną cenę.\(A(6)=B(6)=22\)
- Zbadaj różnicę: dodatnia oznacza droższą A, ujemna tańszą A.\(A(x)-B(x)=6-x\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
Dla \(0\le x\lt6\) tańsza jest B, przy sześciu ceny są równe, a dla \(x\gt6\) tańsza jest A. Jeśli usługi są niepodzielne, wybieramy tylko całkowite argumenty z tych przedziałów. Na przykład dla ośmiu A kosztuje dwadzieścia sześć, B dwadzieścia osiem.
Model przejazdu \(K(x)=3x+8\) daje dla rachunku dwadzieścia dziewięć równanie \(3x+8=29\), skąd \(x=7\). Sprawdzenie to \(3\cdot7+8=29\). Z dwóch punktów, np. \((1,5)\) i \((3,9)\), dostajemy \(a=\frac{9-5}{3-1}=2\), a następnie \(5=2\cdot1+b\), więc \(b=3\).