Funkcja kwadratowa opisuje m.in. pole zależne od wymiarów, zysk w uproszczonym modelu lub wysokość w czasie. Wierzchołek wskazuje argument ekstremum i jego wartość, które trzeba odróżnić i odnieść do dziedziny.
Pojęcia, od których zaczynamy
Model kwadratowy zawiera składnik z kwadratem zmiennej i niezerowym współczynnikiem. Dla dodatniego współczynnika parabola ma ramiona w górę, dla ujemnego w dół. Oznacza to odpowiednio minimum albo maksimum na całej osi rzeczywistej.
Współrzędna pozioma wierzchołka mówi „kiedy?” albo „dla jakiej liczby sztuk?”. Pionowa odpowiada „ile wynosi największy zysk lub wysokość?”. Miejsca zerowe mają jeszcze inne znaczenie: opisują argumenty, przy których wartość modelu jest zerowa. Nie zamieniaj tych trzech odpowiedzi.
Zasada i zapis
Po obliczeniu argumentu wierzchołka podstaw go do funkcji. W zadaniu tekstowym sprawdź, czy ten argument należy do dozwolonej dziedziny.
Jak czytać rysunek?
Wykres uproszczonego zysku pokazuje maksimum przy dziesięciu jednostkach produkcji. Wysokość tego punktu wynosi sto cztery jednostki pieniężne. Dodatnie i ujemne wartości modelu rozdzielają progi zerowego zysku; to inne punkty niż wierzchołek.
Przykład krok po kroku
Zysk opisuje \(Z(x)=-2x^2+40x-96\) dla \(0\le x\le20\), gdzie x jest liczbą jednostek produkcji. Oblicz największy zysk.
- Współczynnik przy kwadracie jest ujemny, więc szukamy maksimum paraboli. Oblicz argument wierzchołka.\(x_w=-\frac{40}{2\cdot(-2)}=10\)
- Dziesięć należy do dziedziny. Podstaw do modelu, aby obliczyć wartość zysku.\(Z(10)=-2\cdot100+40\cdot10-96=104\)
- Postać kanoniczna potwierdza, że inne argumenty nie dadzą większej wartości.\(Z(x)=104-2(x-10)^2\le104\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
Dla \(h(t)=-5t^2+20t+1\), gdzie t jest czasem w sekundach, a h wysokością w metrach, wierzchołek przypada przy \(t=2\), a wysokość wynosi \(h(2)=21\). Wynik ma sens tylko w czasie, w którym przyjęty model ruchu obowiązuje.
Jeśli zadanie ogranicza produkcję do \([0,8]\), argument dziesięć odpada. Model zysku na tym przedziale rośnie i maksimum wynosi \(Z(8)=96\). Przy szukaniu miejsc zerowych rozwiązuj osobne równanie i odrzucaj pierwiastki spoza dziedziny, np. ujemny czas po rozpoczęciu obserwacji.