Zadania z funkcją kwadratową

Wyobraź sobie piłkę wyrzuconą w górę. Najpierw wznosi się coraz wyżej, osiąga najwyższy punkt, a potem spada. Taki kształt zmiany opisuje funkcja kwadratowa i jej wykres – parabola.

Konkret: parabola w codziennych sytuacjach

• Tor lotu przedmiotu może mieć kształt fragmentu paraboli.
• Pole figury przy stałym obwodzie często opisuje funkcja kwadratowa.
• Zysk lub koszt może mieć maksimum albo minimum.
• Wierzchołek wskazuje najważniejszy punkt: największą lub najmniejszą wartość.
• Miejsca zerowe pokazują, kiedy wynik jest równy zero.

Reprezentacja: jak czytać parabolę

• Dla f(x)=ax²+bx+c znak a decyduje o kierunku ramion.
• Gdy a>0, ramiona są skierowane w górę i wierzchołek daje minimum.
• Gdy a<0, ramiona są skierowane w dół i wierzchołek daje maksimum.
• Oś symetrii ma równanie x=−b/(2a).
• Wartość w wierzchołku otrzymujemy przez podstawienie x_w do funkcji.

Abstrakcja: najważniejsze narzędzia

• Współrzędna x wierzchołka: x_w=−b/(2a).
• Delta: Δ=b²−4ac.
• Gdy Δ>0, funkcja ma dwa miejsca zerowe.
• Gdy Δ=0, funkcja ma jedno miejsce zerowe.
• Gdy Δ<0, funkcja nie ma rzeczywistych miejsc zerowych.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim K-W-A-D-R-A-T: Kierunek ramion, Wierzchołek, Analiza delty, Dziedzina z treści, Rozwiązania zerowe, Argument i wartość, Test sensu. W pałacu pamięci parabola jest gigantyczną miską. Gdy a jest dodatnie, miska stoi normalnie i zbiera kulkę w najniższym punkcie. Gdy a jest ujemne, miska odwraca się jak parasol i kulka ląduje na najwyższym czubku.

Przykład krok po kroku: wysokość piłki

Wysokość piłki opisuje funkcja h(t)=−5t²+20t+1. Kiedy piłka znajduje się najwyżej i jaka jest ta wysokość?

• a=−5, b=20.
• t_w=−20/(2·(−5))=2.
• h(2)=−5·4+40+1=21.
• Odpowiedź: po 2 sekundach piłka jest na wysokości 21 m.

Przykład krok po kroku: miejsca zerowe

Wyznacz miejsca zerowe funkcji f(x)=x²−5x+6.

• a=1, b=−5, c=6.
• Δ=(−5)²−4·1·6=25−24=1.
• x₁=(5−1)/2=2.
• x₂=(5+1)/2=3.
• Sprawdzenie: (x−2)(x−3)=x²−5x+6.

Przykład krok po kroku: największe pole

Prostokąt ma obwód 24 cm. Jeden bok ma długość x. Wyznacz największe pole.

• Drugi bok ma długość 12−x.
• P(x)=x(12−x)=−x²+12x.
• x_w=−12/(2·(−1))=6.
• Drugi bok również ma 6 cm.
• Maksymalne pole wynosi 36 cm².

Przykład krok po kroku: analiza przedziału

Funkcja f(x)=x²−4x+7 jest rozpatrywana dla x od 0 do 5. Wyznacz najmniejszą wartość.

• a=1>0, więc funkcja ma minimum.
• x_w=4/2=2.
• Liczba 2 należy do przedziału.
• f(2)=4−8+7=3.
• Najmniejsza wartość wynosi 3.

Najczęstsze błędy

• Pomijanie znaku współczynnika a.
• Błędne podstawienie b do wzoru na wierzchołek.
• Zapominanie o nawiasie przy liczbie ujemnej w delcie.
• Mylenie argumentu wierzchołka z wartością funkcji.
• Brak sprawdzenia dziedziny wynikającej z treści.
• Podanie miejsc zerowych bez interpretacji praktycznej.

Kontrola rozwiązania

• Czy poprawnie odczytałem a, b i c?
• Czy kierunek ramion zgadza się ze znakiem a?
• Czy wierzchołek odpowiada maksimum lub minimum?
• Czy delta i miejsca zerowe są policzone poprawnie?
• Czy wynik należy do dziedziny i ma sens w treści?

Najczęstsze pytania