Zadania z ciągami opisują kolejne wielkości w uporządkowanych etapach. Stała różnica prowadzi do ciągu arytmetycznego, a stały mnożnik do geometrycznego; trzeba też rozróżniać pojedynczy wyraz i sumę wyrazów.
Pojęcia, od których zaczynamy
Wyraz jest wartością na określonym miejscu, np. liczbą miejsc w rzędzie. Numer wyrazu nie jest jego wartością. Między pierwszym a drugim rzędem jest jedno przejście, a między pierwszym i dwunastym jedenaście. Stąd we wzorach opartych na pierwszym wyrazie pojawia się n minus jeden.
„Co okres o trzy więcej” oznacza dodawanie stałej liczby. „Co okres o pięć procent więcej” oznacza mnożenie przez \(1{,}05\), ponieważ podstawa zmiany rośnie. Przed użyciem wzoru zapisz pierwsze dwa lub trzy wyrazy, by sprawdzić zgodność modelu z treścią.
Zasada i zapis
r jest stałą różnicą, q stałym mnożnikiem. Numer n jest dodatnią liczbą całkowitą. Przy modelu zaczynającym się od indeksu zero liczymy kroki od tego indeksu.
Jak czytać rysunek?
Schemat pokazuje początkowe osiemnaście miejsc i zwiększanie o dwa w każdym kolejnym rzędzie. Do dwunastego rzędu wykonujemy jedenaście przyrostów. Zaznaczone skrajne wartości osiemnaście i czterdzieści pomagają obliczyć sumę wszystkich rzędów.
Przykład krok po kroku
W pierwszym rzędzie jest osiemnaście miejsc, a w każdym następnym o dwa więcej. Ile miejsc jest w dwunastym rzędzie i łącznie w dwunastu rzędach?
- Oblicz wartość ostatniego wyrazu, licząc jedenaście przyrostów.\(a_{12}=18+11\cdot2=40\)
- Dla ciągu arytmetycznego suma to liczba wyrazów razy średnia pierwszego i ostatniego.\(S_{12}=\frac{12(18+40)}2\)
- Oblicz sumę i odróżnij ją od liczby miejsc w jednym rzędzie.\(S_{12}=348\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
Dla geometrycznych wpłat \(100,200,400,800\) czwarta wpłata wynosi osiemset, a suma czterech to tysiąc pięćset. Ogólnie przy \(q\ne1\) suma pierwszych n wyrazów wynosi \(S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}\), a dla \(q=1\) po prostu \(na_1\). Nie stosuj wzoru na sumę arytmetyczną do takich danych.
Wartość urządzenia malejąca co rok o dwadzieścia procent spełnia \(K_n=K_0\cdot0{,}8^n\), gdzie n liczy zmiany od chwili zakupu. Wzrost procentowy i stałe wpłaty mogą się łączyć w bardziej złożony model; wtedy nie nazywaj ciągu arytmetycznym ani geometrycznym bez sprawdzenia różnic lub ilorazów.