W zadaniu geometrycznym zamieniamy opis na schemat, oznaczamy szukane wielkości i dobieramy wzór wynikający z danych. Przed rachunkiem ustalamy, czy pytanie dotyczy długości, pola czy objętości.
Pojęcia, od których zaczynamy
Obwód jest długością brzegu figury, pole powierzchnią jej wnętrza, a objętość przestrzenią zajętą przez bryłę. Jednostki rozróżniają te wielkości. Dla długości w metrach pole wyjdzie w metrach kwadratowych, a objętość w sześciennych. Nie dodajemy pola do długości.
Rysunek powinien pokazywać, po której stronie granicy leży ścieżka lub obramowanie. Pas o szerokości jeden metr biegnący wewnątrz ze wszystkich stron zmniejsza każdy wymiar środka o dwa metry. Pas na zewnątrz zwiększa wymiary. To inne modele, mimo takiej samej szerokości.
Zasada i zapis
a i b są wymiarami zewnętrznego prostokąta, w szerokością pasa wewnętrznego. Aby środek miał dodatnie wymiary, wymagamy \(0\lt2w\lt\min(a,b)\).
Jak czytać rysunek?
Cały prostokąt ma dwanaście na osiem metrów. Pas szerokości jeden metr zaznaczono przy wszystkich czterech krawędziach. Środek ma dziesięć na sześć metrów. Metoda różnicy pól liczy narożniki dokładnie raz, bez nakładania czterech osobnych pasów.
Przykład krok po kroku
Oblicz pole wewnętrznej ścieżki szerokości jeden metr wokół terenu dwanaście na osiem metrów.
- Odejmij szerokość pasa po obu stronach każdego wymiaru.\(a_{\text{wew}}=12-2=10,\qquad b_{\text{wew}}=8-2=6\)
- Policz pole całego terenu i pozostawionego środka.\(P_{\text{całe}}=12\cdot8=96,\quad P_{\text{środek}}=10\cdot6=60\)
- Odejmij środek i podaj jednostkę pola.\(P_{\text{ścieżki}}=96-60=36\text{ m}^2\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
W skali planu \(1:100\) trzy centymetry odpowiadają trzystu centymetrom, czyli trzem metrom w rzeczywistości. Przy podobieństwie o skali długości k pola zmieniają się w skali \(k^2\), a objętości \(k^3\). Podwojenie długości nie podwaja pola, lecz je czterokrotnie zwiększa.
Wzór Pitagorasa stosuj tylko po wskazaniu kąta prostego. Boki prostokąta pięć i dwanaście dają przekątną \(\sqrt{5^2+12^2}=13\). Dla trójkąta sprawdź, czy wysokość odpowiada wskazanej podstawie. Na końcu porównaj skalę wyniku z danymi: pole samego pasa musi być mniejsze niż pole całego terenu.